Офтоп
Лена Очкова

Наглядная математика: как рассчитать ценность пользователя с помощью интегралов

Младший геймдизайнер Nevosoft Руслан Герасим в своем коллективном блоге геймдизайнеров на Medium рассказал, как рассчитать среднее время жизни пользователя в проекте и доход от него за это время.

Часто люди, имея в наличии инструмент для расчета какого-либо показателя, используют его «на веру». Если известна его функция, то зачем углубляться в происхождение? Я считаю такой подход в корне неправильным. Специалист должен стремиться улучшать свои профессиональные навыки и разбираться в базовых и основополагающих моментах, ведь с этими знаниями придет возможность модифицировать и улучшать используемые методы.

Итак, напомню, что такое LTV (англ. Lifetime Value). Фактически это доход с одного пользователя за время его существования в проекте. Знание LTV позволит оценить окупаемость инвестиций (ROI), определить лучшие каналы трафика и так далее.

Безусловно, время «жизни» в игре у каждого пользователя разное, как и количество внесенных средств, поэтому целесообразно взять среднее время жизни игрока (LT) и средний доход в день (ARPDAU).

Из всего вышесказанного вытекает метод прогнозирования LTV, основанный на знании среднего времени жизни LT и дохода с одного пользователя в день.

Интегральные функции распределения
(функции ухода и удержания)

Рассмотрим некоторую неотрицательную непрерывную случайную величину t, которая является временем до возникновения интересующего нас события, а именно до «смерти»  — ухода пользователя. Плотность вероятности этой величины обозначим f(t). Как будет показано позднее, вид этой функции нас не интересует.

Возьмем интегральный закон распределения величины F(t). Данная функция говорит нам о вероятности того, что событие произойдет на промежутке времени [0, T):

Таким образом, F(t) — функция ухода пользователя. Очевидно, значения этой функции лежат на промежутке от 0 до 1. Чтобы не было сомнений, рассмотрим пример. Будем отсчитывать время жизни проекта с нуля (то есть нулевой день — первый день жизни проекта). Пусть в нулевой день в игру пришло N человек — вероятность ухода пользователя равна 0 (в нулевой день уходов не происходит). В следующий день вероятность пользователя уйти составляет, например, 0,5. Умножая эту вероятность на N, мы получим количество ушедших человек.

Нетрудно догадаться, что функция удержания описывает вероятность события, обратного уходу:

S(t) — функция удержания, которая получается путем аппроксимации (приближения — прим. ред.) наблюдательных данных Retention — Days степенной функцией (ax^b). В общем случае данная функция называется Survival function (функция выживаемости). Она применяется для прогнозирования исходов в медицине, социологии и так далее.

S(t) — вероятность того, что событие произойдет на промежутке времени [T, +∞), то есть не произойдет на [0, T):

Расчет lifetime

Перейдем непосредственно к расчету среднего времени, на котором произойдет уход пользователя — математическое ожидание величины t:

Заметим, что

Таким образом,

Интегрируем по частям:

Вспомним, что вероятность ухода в нулевой день равна F(0) = 0, а в последний день промежутка F(T) = 1 (все пользователи уйдут из проекта):

Следовательно,

В принципе, этого уже достаточно, чтобы посчитать среднее время жизни пользователя. Но мы привыкли работать не с уходом, а с удержанием (retention):

То есть среднее время жизни пользователя в проекте равно площади под функцией удержания:

Заключение

Остался последний шаг:

Теперь мы знаем, откуда берутся эти функции.

Используя инструмент, понимайте не только то, какой результат он выдаст, но и как он работает.

0
17 комментариев
Популярные
По порядку
Написать комментарий...

Комментарий удален

Развернуть ветку
Sergey Babaev

даже если вы правы - нет ничего страшного в том, чтобы написать статью не для абсолютного большинства, а для горстки увлеченных. Если вы переживаете, что рубрика при этом утратит интересность для массовой аудитории - заверяю вас, что для беспокойства нет причин

Ответить
8
Развернуть ветку

Комментарий удален

Развернуть ветку
Praetorian

Считаете лучше использовать линейный интеграл векторного поля? Ну, результаты возможно будут чуть точнее, только стоит ли этот мизерный выигрыш усложнения вычислений?

Ответить
1
Развернуть ветку
Artem Artjukov

помню как работая маркетологом (зарплата 18 т.р.) в одной строительной компании в Татарстане (типа лидер рынка), спрогнозировал спрос через К-Р анализ, ну так чисто ради интереса. Директора, которые мнили из себя божками местного значения подумали что я просто гений эконометрики и маркетинга.
Вот тогда я офигел. Ведь лично в моем ВУЗе знания получается были сильнее, чем применяющиеся на практике методики в РТ

Ответить
0
Развернуть ветку
Илья Туменко

Обычная ситуация, бизнесмены ведь не из аналитиков получаются.

Ответить
0
Развернуть ветку
Илья Туменко

Что, кстати, не исключает, их божественности местного значения: у них ведь строительная компания, а у гения аналитики 18 тыр :)

Ответить
2
Развернуть ветку
Евгений Мигаев

Только некоторые формулы написаны не совсем корректно. Так например, в первой формуле должно быть F(T) вместо F(t). Т е функция зависит от верхнего предела интеграла (от прожитого времени), а не от переменной функции плотности, по которой берется сам интеграл.

Ответить
1
Развернуть ветку
Ruslan Gerasim

Вы правы, но не до конца. В таком случае, необходимо записать переменную принадлежащую интервалу интегрирования, либо оставить t но с указанием знака двойной подстановки. Также t допустимо в случае, если в подинтегральном выражении использовать другое обозначение (например, x).

Ответить
0
Развернуть ветку
Ruslan Gerasim

В любом случае, хочу извиниться перед читателями за эту оплошность. Пытаясь донести основную мысль, слишком погрузился в поток.

Ответить
0
Развернуть ветку
Павел Фойницкий

Не лучше NPV считать?

Ответить
0
Развернуть ветку
Mihail Yurov

NPV - это из другой оперы. Net Present Value - то, насколько больше можно получить при инвестировании в исследуемый проект по сравнению с другой общедоступной альтернативой, сопоставимой по срокам и рискам. NPV рассчитывают для оценки привлекательности проекта в целом для потенциального инвестора.

Ответить
1
Развернуть ветку
Илья Туменко

LTV нужен не для оценки эффективности инвестиций (для этого, кстати, в геймдеве принято использовать ROI), а для определения характеристик проекта и рынка, на которые можно повлиять при оперировании.
В этом смысле LTV ближе к ARPDAU или K-factor'у, чем к ROI или NPV.

Ответить
0
Развернуть ветку
George Steshenko

Мне кажется, что тут есть некоторая ошибка. Если мы говорим чисто абстрактным языком функций, то и функция ухода и функция удержания определены на промежутке 0 - бесконечность. Поэтому интеграл должен быть определен на том же промежутке.

Ответить
0
Развернуть ветку
Ruslan Gerasim

Мы говорим языком теории вероятности. Пределы интегрирования следуют из интересующих нас событий.

Ответить
1
Развернуть ветку
Aleksej Modelski

Достаточно вызывать окно при нажатии на кнопку закрыть: "Вы точно хотите покинуть этот сайт?"

Ответить
0
Развернуть ветку
Alexandr Tokmakov

Спасибо вам за статью, полез вспоминать мат. анализ.
Но вот при прочтении никак не покидало ощущение, что что-то не так.
1. Сначала вы пишите "Плотность вероятности этой величины обозначим F(t).", дальше "F(t) - функция ухода пользователя." Может все-таки в формуле плотность вероятности - f(x)?

Ответить
0
Развернуть ветку
Ruslan Gerasim

Спасибо! В первоисточнике f малое. Безусловно, F(x) это интегральный закон. А f(x) - плотность вероятности.

Ответить
0
Развернуть ветку
Ruslan Savenok
Ответить
–2
Развернуть ветку
Читать все 17 комментариев
Как поднять продажи фармы в диджитале? Рассказываем про стратегию продвижения бренда «Ультра-Д» и показываем результаты

В пандемию фармотрасли тоже пришлось пойти в диджитал, но из-за ограничений ей это дается сложнее, чем остальным. Как построить стратегию продвижения фармпродукта в онлайне и поднять продажи, не нарушив закон? В 2020-м мы проверили в бою собственную стратегию продвижения фармы — а теперь рассказываем, как она работает и какие дает результаты.

Дольше всех на рынке: почему компаниям с большим опытом сложнее работать с клиентами?
Сооснователь Endel Владислав Пинский запустил в Германии сервис распознавания документов ABC Doc и привлёк €500 тысяч Статьи редакции

Сервис помогает понять смысл документов и решить, что с ними нужно делать.

Пример работы ABC Doc
Тинькофф запустил рассрочку для покупателей Яндекс.Маркета

Тинькофф и Яндекс.Маркет расширяют сотрудничество в сфере e-commerce: теперь с помощью сервиса «Тинькофф Кредит Брокер» пользователи маркетплейса смогут купить товары в рассрочку на 3, 6, 12 или 24 месяца без комиссий и переплат.

В OTUS стартует первый онлайн-буткемп «Java developer»
Насколько малый бизнес готов к обязательному электронному документообороту

В 2024 году ФНС обещает внедрить обязательный электронный документооборот. Интернет-бухгалтерия «Моё дело» проанализировала насколько активно сейчас используется ЭДО в малом бизнесе на базе 70 тысяч клиентов.

Праздник к нам приходит: когда заказывать подарки за рубежом

Ещё в ноябре для логистических компаний начинается горячий сезон, который продолжается до марта. 11 ноября — большая распродажа AliExpress, а сразу после неё — Чёрная пятница, плавно перетекающая в подготовку к Новому году, 14 и 23 февраля, и, наконец, к 8 марта. В это время Почта и другие логистические службы по всему миру доставляют особенно…

Фоторамка 2.0 или что подарить бабушке на Новый год

Давно мечтал подарить бабушке фоторамку для просмотра фотографий детей и внуков, но нужно было как-то поддерживать актуальность фотографий, загружать их на флешку, такое себе занятие.

Baring Vostok инвестировал $13 млн в российскую платформу автоматизации маркетинга Mindbox Статьи редакции

Деньги направят на развитие продуктов, опционный пул и сделки.

Юристы оценили решение Верховного суда по штрафу из-за маски по фото

Советник административной и уголовно-правовой практики юридической фирмы «Надмитов, Иванов и Партнеры» Булат Тугутов дал комментарий для РБК о решении Верховного суда РФ по штрафу из-за маски.

null