Офтоп
Лена Очкова

Наглядная математика: как рассчитать ценность пользователя с помощью интегралов

Младший геймдизайнер Nevosoft Руслан Герасим в своем коллективном блоге геймдизайнеров на Medium рассказал, как рассчитать среднее время жизни пользователя в проекте и доход от него за это время.

Часто люди, имея в наличии инструмент для расчета какого-либо показателя, используют его «на веру». Если известна его функция, то зачем углубляться в происхождение? Я считаю такой подход в корне неправильным. Специалист должен стремиться улучшать свои профессиональные навыки и разбираться в базовых и основополагающих моментах, ведь с этими знаниями придет возможность модифицировать и улучшать используемые методы.

Итак, напомню, что такое LTV (англ. Lifetime Value). Фактически это доход с одного пользователя за время его существования в проекте. Знание LTV позволит оценить окупаемость инвестиций (ROI), определить лучшие каналы трафика и так далее.

Безусловно, время «жизни» в игре у каждого пользователя разное, как и количество внесенных средств, поэтому целесообразно взять среднее время жизни игрока (LT) и средний доход в день (ARPDAU).

Из всего вышесказанного вытекает метод прогнозирования LTV, основанный на знании среднего времени жизни LT и дохода с одного пользователя в день.

Интегральные функции распределения
(функции ухода и удержания)

Рассмотрим некоторую неотрицательную непрерывную случайную величину t, которая является временем до возникновения интересующего нас события, а именно до «смерти»  — ухода пользователя. Плотность вероятности этой величины обозначим f(t). Как будет показано позднее, вид этой функции нас не интересует.

Возьмем интегральный закон распределения величины F(t). Данная функция говорит нам о вероятности того, что событие произойдет на промежутке времени [0, T):

Таким образом, F(t) — функция ухода пользователя. Очевидно, значения этой функции лежат на промежутке от 0 до 1. Чтобы не было сомнений, рассмотрим пример. Будем отсчитывать время жизни проекта с нуля (то есть нулевой день — первый день жизни проекта). Пусть в нулевой день в игру пришло N человек — вероятность ухода пользователя равна 0 (в нулевой день уходов не происходит). В следующий день вероятность пользователя уйти составляет, например, 0,5. Умножая эту вероятность на N, мы получим количество ушедших человек.

Нетрудно догадаться, что функция удержания описывает вероятность события, обратного уходу:

S(t) — функция удержания, которая получается путем аппроксимации (приближения — прим. ред.) наблюдательных данных Retention — Days степенной функцией (ax^b). В общем случае данная функция называется Survival function (функция выживаемости). Она применяется для прогнозирования исходов в медицине, социологии и так далее.

S(t) — вероятность того, что событие произойдет на промежутке времени [T, +∞), то есть не произойдет на [0, T):

Расчет lifetime

Перейдем непосредственно к расчету среднего времени, на котором произойдет уход пользователя — математическое ожидание величины t:

Заметим, что

Таким образом,

Интегрируем по частям:

Вспомним, что вероятность ухода в нулевой день равна F(0) = 0, а в последний день промежутка F(T) = 1 (все пользователи уйдут из проекта):

Следовательно,

В принципе, этого уже достаточно, чтобы посчитать среднее время жизни пользователя. Но мы привыкли работать не с уходом, а с удержанием (retention):

То есть среднее время жизни пользователя в проекте равно площади под функцией удержания:

Заключение

Остался последний шаг:

Теперь мы знаем, откуда берутся эти функции.

Используя инструмент, понимайте не только то, какой результат он выдаст, но и как он работает.

0
17 комментариев
Популярные
По порядку
Написать комментарий...

Комментарий удален

даже если вы правы - нет ничего страшного в том, чтобы написать статью не для абсолютного большинства, а для горстки увлеченных. Если вы переживаете, что рубрика при этом утратит интересность для массовой аудитории - заверяю вас, что для беспокойства нет причин

8

Комментарий удален

Считаете лучше использовать линейный интеграл векторного поля? Ну, результаты возможно будут чуть точнее, только стоит ли этот мизерный выигрыш усложнения вычислений?

1

помню как работая маркетологом (зарплата 18 т.р.) в одной строительной компании в Татарстане (типа лидер рынка), спрогнозировал спрос через К-Р анализ, ну так чисто ради интереса. Директора, которые мнили из себя божками местного значения подумали что я просто гений эконометрики и маркетинга.
Вот тогда я офигел. Ведь лично в моем ВУЗе знания получается были сильнее, чем применяющиеся на практике методики в РТ

0

Обычная ситуация, бизнесмены ведь не из аналитиков получаются.

0

Что, кстати, не исключает, их божественности местного значения: у них ведь строительная компания, а у гения аналитики 18 тыр :)

2

Только некоторые формулы написаны не совсем корректно. Так например, в первой формуле должно быть F(T) вместо F(t). Т е функция зависит от верхнего предела интеграла (от прожитого времени), а не от переменной функции плотности, по которой берется сам интеграл.

1

Вы правы, но не до конца. В таком случае, необходимо записать переменную принадлежащую интервалу интегрирования, либо оставить t но с указанием знака двойной подстановки. Также t допустимо в случае, если в подинтегральном выражении использовать другое обозначение (например, x).

0

В любом случае, хочу извиниться перед читателями за эту оплошность. Пытаясь донести основную мысль, слишком погрузился в поток.

0

Не лучше NPV считать?

0

NPV - это из другой оперы. Net Present Value - то, насколько больше можно получить при инвестировании в исследуемый проект по сравнению с другой общедоступной альтернативой, сопоставимой по срокам и рискам. NPV рассчитывают для оценки привлекательности проекта в целом для потенциального инвестора.

1

LTV нужен не для оценки эффективности инвестиций (для этого, кстати, в геймдеве принято использовать ROI), а для определения характеристик проекта и рынка, на которые можно повлиять при оперировании.
В этом смысле LTV ближе к ARPDAU или K-factor'у, чем к ROI или NPV.

0

Мне кажется, что тут есть некоторая ошибка. Если мы говорим чисто абстрактным языком функций, то и функция ухода и функция удержания определены на промежутке 0 - бесконечность. Поэтому интеграл должен быть определен на том же промежутке.

0

Мы говорим языком теории вероятности. Пределы интегрирования следуют из интересующих нас событий.

1

Достаточно вызывать окно при нажатии на кнопку закрыть: "Вы точно хотите покинуть этот сайт?"

0

Спасибо вам за статью, полез вспоминать мат. анализ.
Но вот при прочтении никак не покидало ощущение, что что-то не так.
1. Сначала вы пишите "Плотность вероятности этой величины обозначим F(t).", дальше "F(t) - функция ухода пользователя." Может все-таки в формуле плотность вероятности - f(x)?

0

Спасибо! В первоисточнике f малое. Безусловно, F(x) это интегральный закон. А f(x) - плотность вероятности.

0
Читать все 17 комментариев
«СберПрайм» ввёл лимит на бесплатную доставку продуктов из «СберМаркета» — её называли выгодой для подписчиков Статьи редакции

Сервис сделал платным то, что обещал сохранить бесплатным: на сайте было указано, что подписка для пользователей «всегда бесплатная».

«Циан» запретил сдавать квартиры «только славянам»: теперь на сайте нельзя указывать расовые предпочтения Статьи редакции

Отредактировать объявления необходимо до 1 февраля 2022 года.

Получить 5% от доходов будущего Илона Маска: зачем компании инвестируют в конкретных людей Статьи редакции

Венчурная компания Slow Ventures в ноябре 2021 года вложила $1,7 млн в YouTube-блогера из России Марину Могилко. Всего инвесткомпания выделила $20 млн для поддержки создателей контента — её генеральный партнёр Сэм Лессин рассказал The Information об условиях таких сделок и своих ожиданиях от них.

Марина Могилко с наградами за миллион подписчиков на Youtube marinamogilko.co
«Бизнесом чуть-чуть занимаюсь, чтобы не закиснуть мозгами»: Олег Тиньков рассказал о продолжении борьбы с лейкемией Статьи редакции

Бизнесмен считает, что победить болезнь окончательно невозможно.

Олег Тиньков
Как столярная мастерская из Рязани начала продавать товары по всему миру

И прошла путь от мебели ручной работы к деревянным игрушкам.

OPS-инструкция для стартапа по доставке: как выжить и наладить операционку

В преддверии первой годовщины запуска сервиса гиперлокальной доставки Прямиком, который развивает наша компания, вспомнили с ребятами из операционного отдела, как всё начиналось. Андрей Резник, региональный менеджер Master Delivery, и Анатолий Голованец, старший менеджер по франчайзингу, собрали ТОП-5 советов для тех, кто сейчас в самом начале.

Глава СберМаркета Асан Курмангужин запустил подкаст Asan Talks в YouTube

В выпусках Асан берет интервью у топ-менеджеров крупных компаний и обсуждает вопросы саморазвития и лидерства

vc.ru превратился в книгу жалоб

Вам не кажется, что vc.ru превращается в сайт для жалоб на разные сервисы и компании?

9 декабря банк «Открытие» и Яндекс.Бизнес проводят очередное бизнес-шоу «Цифровая эволюция бизнеса»

Тема шоу — как компаниям малого и среднего бизнеса продвигать продажи и завоевывать новую аудиторию покупателей через онлайн-каналы

Pinterest купила белорусский сервис для редактирования видео Vochi Статьи редакции

Покупка поможет Pinterest развивать видеонаправление.

Точка добавила вебхуки в API

Клиенты смогут получать моментальные уведомления о своём бизнесе.

null