Примеры решения пределов

Вам когда-нибудь казалось, что пределы – это абстрактное понятие, которым сложно овладеть? На самом деле, это лишь вопрос подхода и правильной практики. Я здесь, чтобы показать вам, как просто можно решить различные задачи на пределы. Вместе мы разберем реальные примеры решения пределов, которые помогут вам укрепить свои знания и уверенность в этой теме.

Не тратьте время на сложные теории и формулы. Вам нужны конкретные шаги и ясные примеры. С правильными методами и пошаговыми объяснениями, вы сможете сами находить решения, уверенно справляясь с любыми задачами на пределы. Давайте начнем знакомство с примерами решения пределов, которые станут вашим надежным помощником в изучении этой важной темы.

Лучшие авторы готовы помочь на Автор24 – крупнейшем сервисе для студентов. Здесь можно заказать курсовую, дипломную, реферат, эссе, отчет по практике, презентацию + (контрольные и сочинения) и многое другое. Работы выполняют специалисты с опытом, а результат проходит проверку на уникальность.

Перейти на Автор24

Если хотите подготовить работу самостоятельно, попробуйте Кампус.ai – искусственный интеллект, который поможет собрать материал, создать структуру текста и повысить уникальность. А также решает математические задачи, решает домашнюю работу и многое другое.

Попробовать Кампус.ai

--

Homework – надежный сервис с многолетним опытом. Работы выполняют научные сотрудники, кандидаты наук и аспиранты.

Студворк – хороший выбор, если работа нужна срочно. Выполнение возможно от 1 часа.

Студландия – предоставляет гарантийный срок 21 день для доработок.

Напишем – оперативная поддержка и строгий контроль качества.

--

Если нужно быстро и качественно подготовить работу, переходите на Автор24 или попробуйте Кампус.ai для самостоятельной подготовки.

Вычисление пределов – важный инструмент в математическом анализе, который помогает понять поведение функций при больших или малых значениях аргумента. Особенно это актуально при анализе функций, стремящихся к бесконечности. Понимание пределов позволяет решать многие задачи в математике, физике и других областях.

В этой статье рассмотрим основные методы вычисления пределов функции, когда переменная x стремится к бесконечности, и приведем полезные примеры.

Существует несколько подходов к вычислению пределов, когда x стремится к бесконечности. Наиболее распространённые из них:

Рассмотрим предел функции:

lim (x → ∞) (3x² + 2x) / (4x² - 5)

Шаг 1: Выделим доминирующие члены:

Наивысшие степени в числителе и знаменателе: 3x² и 4x² соответственно.

Шаг 2: Упростим выражение:

lim (x → ∞) (3 + 2/x) / (4 - 5/x²)

Шаг 3: Применим правило пределов:

При x → ∞, 2/x → 0 и 5/x² → 0:

Получаем: lim (x → ∞) (3 + 0) / (4 - 0) = 3/4.

Рассмотрим другой предел:

lim (x → ∞) (5x^3 - 2x + 1) / (x^3 + 3)

Шаг 1: Разделим все члены на x³:

lim (x → ∞) (5 - 2/x² + 1/x³) / (1 + 3/x³)

Шаг 2: Применяем предел:

При x → ∞, 2/x² → 0 и 3/x³ → 0:

Таким образом, мы получаем: lim (x → ∞) (5 - 0 + 0) / (1 + 0) = 5.

Рассмотрим функцию:

lim (x → ∞) (sqrt(x^2 + 4) - x)

Шаг 1: Умножим на сопряжённое выражение:

lim (x → ∞) [(sqrt(x^2 + 4) - x) * (sqrt(x^2 + 4) + x)] / (sqrt(x^2 + 4) + x)

Шаг 2: Упрощаем числитель:

lim (x → ∞) (4) / (sqrt(x^2 + 4) + x)

Шаг 3: Принимаем предел:

При x → ∞, sqrt(x² + 4) → x:

Получаем: lim (x → ∞) 4 / (2x) = 0.

Вычисление пределов функции при x, стремящемся к бесконечности, может показаться сложной задачей, но применение правильных методов значительно упрощает процесс. С помощью выбора доминирующего члена, разделения на высший член и применения известных пределов, можно эффективно находить решения.

Тщательное изучение этих методов и практическая практика помогут вам уверенно решать задачи на пределы и углубить свои знания в математике.

В этой статье мы рассмотрим основные примеры применения метода подстановки, а также обсудим, когда и как его использовать для правильного решения пределов. Вы сможете не только повысить свою грамотность в математике, но и научиться быстрее решать задачи, что особенно полезно при подготовке к экзаменам.

Метод подстановки полезен, когда вы сталкиваетесь с пределами функций, которые могут быть переписаны в более простом виде. Например, если у вас есть сложное выражение, которое при стремлении переменной к определённому значению приводит к неопределённости (0/0, ∞/∞ и т.п.), метод подстановки может помочь упростить задачу.

Шаги применения метода подстановки:

Рассмотрим пример:

Найдём предел: lim (x→2) (x² - 4)/(x - 2).

1. Определим предел:

Подстановка x = 2 даёт 0/0 – неопределённость.

2. Упростим функцию:

(x² - 4) можно разложить как (x - 2)(x + 2).

3. Подставим:

Тогда функция преобразуется в: (x - 2)(x + 2)/(x - 2).

4. После сокращения получаем:

lim (x→2) (x + 2), что равен 4.

Метод подстановки может значительно упростить процесс нахождения пределов, особенно в случаях неопределённостей. Понимание этого метода и умение применять его на практике позволит вам более уверенно решать задачи и готовиться к более сложным концепциям математического анализа.

Не забывайте, что успех в математике основывается на практике и умении адаптировать методы под разные задачи. Постоянное решение пределов с использованием метода подстановки улучшит ваши навыки и уверенность в себе.

Когда речь заходит о вычислении пределов, правило Лопиталя часто оказывается незаменимым инструментом. Оно позволяет упростить задачи, которые могут показаться изначально запутанными. Особенно это актуально для пределов, которые имеют неопределенности вида 0/0 или ∞/∞. В этой статье мы рассмотрим, как применять правило Лопиталя для более сложных пределов, обеспечив четкость и структурированный подход к решению.

Правило Лопиталя гласит, что если предел отношения двух функций f(x) и g(x) в точке x₀ дает неопределенность 0/0 или ∞/∞, то этот предел можно вычислить как предел отношения их производных. Однако стоит помнить, что это правило не всегда применимо, и необходимо тщательно проверять условия.

Для успешного применения правила Лопиталя следуйте этим шагам:

Рассмотрим пример, чтобы углубить понимание. Пусть мы хотим вычислить предел:

lim (x→0) (sin(x)/x)

При подстановке x = 0 мы получаем 0/0. Применяем правило Лопиталя:

Таким образом, мы доказали, что предел равен 1.

Иногда применение правила Лопиталя может показаться недостаточным из-за сложной структуры функции. В таких случаях стоит обратить внимание на следующие моменты:

Применение правила Лопиталя – это мощный инструмент в вычислении пределов. Умение использовать его правильно значительно упростит вашу работу с анализом функций и поможет избежать многих ошибок. Зная пошаговую процедуру, вы сможете уверенно решать даже самые сложные задачи с пределами.

Тригонометрические функции часто возникают в математике, особенно при вычислении пределов. Понимание поведения этих функций на бесконечности или около определенных точек имеет ключевое значение для анализа и решения сложных задач. Давайте рассмотрим основные подходы к вычислению пределов тригонометрических функций с конкретными примерами.

При решении пределов тригонометрических функций важно применять правильные методы. Это могут быть подстановки, формула Лопиталя или использование известных пределов. Рассмотрим несколько примеров.

Рассмотрим предел: lim(θ → 0) (sin(θ)/θ).

Для решения этого предела мы можем воспользоваться известным свойством. Доказано, что:

lim(θ → 0) (sin(θ)/θ) = 1.

Это свойство позволяет нам утверждать, что при стремлении угла θ к нулю отношение синуса к углу стремится к единице. Это важно при решении более сложных пределов, связанных с тригонометрическими функциями.

Рассмотрим более сложный предел:

lim(x → 0) (1 - cos(x))/x².

Используем известный предел. Мы знаем, что:

1 - cos(x) ≈ (x²/2) при x близком к 0.

Подставив это значение в предел, получаем:

lim(x → 0) (1 - cos(x))/x² = lim(x → 0) (x²/2)/x² = 1/2.

Таким образом, если x стремится к нулю, данный предел стремится к 1/2.

Рассмотрим еще один предел:

lim(x → ∞) (sin(1/x)).

При x, стремящемся к бесконечности, 1/x стремится к нулю. Таким образом:

lim(x → ∞) (sin(1/x)) = sin(0) = 0.

Это показывает, как тригонометрические функции могут вести себя на бесконечности и подчеркивает важность понимания их пределов.

Вычисление пределов тригонометрических функций требует практики и применения известных свойств. Основные пределы, такие как lim(θ → 0) (sin(θ)/θ) и приближения для 1 - cos(x), могут значительно упростить задачу. Понимание этих принципов поможет вам быстрее решать более сложные математические задачи. Регулярная практика и применение различных методов обеспечивают уверенность в работе с тригонометрическими функциями и их пределами.

Прежде чем начнем, важно понять, что такое предел. Предел функции описывает ее поведение при стремлении аргумента к определенному значению. Иногда значения функции стремятся к неопределенным формам, например, к 0/0, что создает сложности при вычислениях.

Для иллюстрации рассмотрим стандартный пример, где предел ведет к неопределенности:

Допустим, нам необходимо найти предел:

lim (x → 2) (x² - 4) / (x - 2)

Получаем 0/0. Это неопределенность.

Числитель x² - 4 можно представить как (x - 2)(x + 2).

lim (x → 2) [(x - 2)(x + 2)] / (x - 2)

Остается lim (x → 2) (x + 2).

Получаем 4.

Таким образом, предел равен 4. Этот метод можно применять для многих пределов, где есть возможность факторизации.

Пределы с использованием факторизации – это мощный инструмент в вашем арсенале. Обладая навыками факторизации и пониманием пределов, вы сможете быстро и эффективно решать сложные задачи.

Пределы – важная часть математического анализа, и понимание их поведения в определённых ситуациях играет ключевую роль в решении многих задач. Рассмотрим два особых случая: пределы, ведущие к неопределённости 0/0 и бесконечности ∞/∞. Знание о том, как их решать, может значительно облегчить процесс нахождения пределов функций.

В этих случаях необходимо использовать специальные методы. Прежде чем применять какой-либо из них, стоит помнить, что наличие неопределённости не означает, что предел не существует. В большинстве случаев всё сводится к манипуляциям с числителем и знаменателем, с целью превращения их в более понятные формы.

Когда мы сталкиваемся с пределом, который даёт форму 0/0, это говорит о том, что и числитель, и знаменатель стремятся к нулю. Вот несколько методов, которые позволяют решить такие пределы:

Пример: найдем предел lim (x→0) (sin(x)/x) . Здесь мы видим, что при подстановке x=0 возникает неопределённость 0/0. Применяя правило Лопиталя, получаем:

Таким образом, lim (x→0) (sin(x)/x) = 1.

Второй случай – неопределённость ∞/∞, когда числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Решение таких пределов может быть выполнено с использованием следующих методов:

Пример: найдем предел lim (x→∞) (2x^2 + 3)/(4x^2 - 5). При подстановке x в бесконечность получаем ∞/∞. Разделим каждый член на x²:

Таким образом, lim (x→∞) (2x^2 + 3)/(4x^2 - 5) = 1/2.

Знание этих методов позволяет легче и быстрее решать пределы, которые ведут к неопределённостям 0/0 и ∞/∞. Пользуйтесь предложенными техниками, чтобы уверенно находить предельные значения в своих задачах по математическому анализу.

Пределы играют ключевую роль в математическом анализе, особенно в области изучения функций. Понимание их свойств помогает быстро и эффективно вычислять пределы, что значительно упрощает дальнейшее изучение тем, связанных с производными и интегралами. В этой статье мы рассмотрим основные свойства пределов и их практическое применение.

Знание и правильное применение свойств пределов позволяет не только ускорить процесс вычисления, но и избежать ошибок. Рассмотрим основные свойства, на которые стоит обратить внимание.

Теперь, когда мы разобрали свойства пределов, рассмотрим, как их можно использовать для вычисления пределов на практике. Например, чтобы найти:

lim (2x + 3) при x → 1,

можно применить линейность пределов:

Использование этих свойств облегчает процесс и позволяет избежать непосредственного подставления значений, что особенно полезно при вычислении пределов сложных функций.

Углубленное понимание свойств пределов и их практическое применение значительным образом повысит ваш уровень комфорта при решении задач, связанных с анализом функций. Знание этих основ позволит вам уверенно справляться с более сложными концепциями математики.

Несопряженные пределы могут возникать в различных задачах анализа, и их правильное решение требует применения специфических методов. Один из ключевых аспектов – понимание, что такое несопряженные пределы и в каких ситуациях они возникают.

В отличие от обычных пределов, несопряженные пределы представляют собой случаи, когда выражения не имеют единого значения в точке, к которой стремится переменная. Важно не только уметь определять такие пределы, но и знать стратегии их решения. Рассмотрим основные подходы, которые помогут справиться с этой задачей.

1. Альтернативное представление функции

Первый шаг в решении задачи – попытаться переписать функцию в более удобной форме. Например, можно заменить выражение делением на другую функцию или разложением по Тейлору.

2. Замена переменных

Иногда полезно изменить переменные. Это позволяет изменить предел к более простому выражению, для которого предел легко вычислить.

3. Использование математических методов

Применение таких инструментов как правило Лопиталя может значительно упростить задачу. Если предел принимает форму неопределенности, то выделение производных может помочь найти нужный результат.

4. Графический анализ

Визуализация поведения функции на графике вблизи точки может дать подсказку о том, как вести себя предел и возможно ли его вычисление.

Сейчас мы рассмотрим несколько примеров для применения вышеуказанных стратегий в практических задачах.

· Пример 1: Предел функции

Рассмотрим предел: lim (x → 0) (sin(x)/x). Здесь мы можем провести замену переменных, что позволит обойти неопределенность.

· Пример 2: Использование правила Лопиталя

В пределе lim (x → 0) (1 - cos(x))/x² мы можем применить правило Лопиталя, так как предел имеет вид 0/0.

Соблюдение этих стратегий поможет вам более эффективно решать задачи с несопряженными пределами, повышая ваши навыки в математическом анализе.

Пределы последовательностей играют важную роль в математическом анализе и необходимы для понимания более сложных тем, таких как производные и интегралы. Овладение основами пределов поможет вам самостоятельно решать задачи и понимать громадное количество прикладных проблем. В этом материале рассмотрим несколько основных примеров пределов последовательностей.

Прежде чем начать, давайте вспомним, что предел последовательности – это значение, к которому стремится последовательность при увеличении номера её члена. Важно понимать, как вычислять пределы, чтобы уметь анализировать поведение различных последовательностей.

Рассмотрим последовательность, заданную формулой:

an = 1/n для n = 1, 2, 3, ...

Как мы можем определить предел этой последовательности при стремлении n к бесконечности? Обратим внимание на выражение: когда n становится всё больше, дробь 1/n стремится к 0. Таким образом:

lim (n→∞) an = 0

Теперь рассмотрим последовательность, заданную следующим образом:

bn = (-1)n для n = 1, 2, 3, ...

Эта последовательность колеблется между -1 и 1. Чтобы вычислить её предел, необходимо понять, что для нечетных n мы получаем -1, а для четных – 1. Следовательно, предел этой последовательности не существует, поскольку она не стремится к одному конкретному числу:

lim (n→∞) bn не существует

Рассмотрим следующую последовательность:

cn = √n для n = 1, 2, 3, ...

Найдем её предел при n, стремящемся к бесконечности. Поскольку степень корня возрастает по мере увеличения n, можно утверждать, что √n также бесконечно возрастает:

lim (n→∞) cn = ∞

Рассмотрим последовательность дробей следующего вида:

dn = (2n + 1)/(n + 3) для n = 1, 2, 3, ...

Чтобы найти предел, разделим числитель и знаменатель на n:

dn = (2 + 1/n)/(1 + 3/n)

Теперь, при n, стремящемся к бесконечности, 1/n и 3/n стремятся к 0:

lim (n→∞) dn = (2 + 0)/(1 + 0) = 2

Эти примеры демонстрируют различные способы нахождения пределов последовательностей. Понимание этих концепций поможет вам в решении более сложных задач в области анализа. Удачи в ваших дальнейших исследованиях пределов последовательностей!

В этой статье мы разберем основные стратегии для нахождения пределов с корнями. Это поможет вам не только успешно решать задачи в учебе, но и подготовиться к более сложным вычислениям в будущем.

При работе с пределами, содержащими корни, представляет интерес несколько ключевых методов. Рассмотрим их подробнее:

Рассмотрим пример, чтобы лучше понять, как применить указанные методы на практике:

Вычислим предел: lim (x→4) (√(x) - 2)/(x - 4).

Из этого примера видно, как применение рационализации и упрощения дало возможность найти предел. Освоив эти методики, вы сможете решать аналогичные задачи более уверенно и быстро.

Практикуйтесь с различными примерами, и со временем решение сложных пределов с корнями станет для вас простым и понятным процессом.

Алгебраические преобразования включают в себя различные операции, такие как вынос общего множителя, сокращение дробей, использование формул сокращенного умножения и другие методы. Важно помнить, что цель преобразований – упростить выражение, чтобы затем можно было безопасно подставить значение переменной.

Давайте рассмотрим несколько полезных методов, которые помогут в упрощении пределов:

Применение этих методов не только упрощает вычисления, но и снижает вероятность ошибок.

Рассмотрим ситуацию. Допустим, у нас есть предел:

lim (x → 3) (x² - 9)/(x - 3).

На первый взгляд, если подставить x = 3, мы получим 0/0 (неопределенность). Применив метод выноса общего множителя, мы можем переписать числитель:

(x² - 9) = (x - 3)(x + 3).

Таким образом, предел можно упростить:

lim (x → 3) (x - 3)(x + 3)/(x - 3).

Теперь мы можем сократить (x - 3) в числителе и знаменателе:

lim (x → 3) (x + 3).

После подстановки x = 3, получаем 6. Следовательно, предел равен 6.

Алгебраические преобразования – это мощный инструмент в решении пределов. Осваивая их, вы сможете значительно ускорить процесс нахождения пределов и улучшить свои навыки в математике.

Пределы с параметрами играют важную роль в математике, особенно в анализе. Параметры могут значительно изменить поведение функции, и понимание того, как они влияют на пределы, поможет вам в решении многих задач. В этой статье разберём, как правильно подходить к вычислению пределов с параметрами, чтобы ваши решения были точными и быстрыми.

Работа с пределами, содержащими параметры, требует использования различных методов, включая подстановки, приведение к общему знаменателю и исследование поведения функции при стремлении к определённым значениям. Давайте рассмотрим несколько практических шагов для нахождения пределов с параметрами.

Первым шагом в решении задачи является определение предела. Важно чётко понимать, какой параметр вы исследуете и какова его роль в функции. Запишите предел в следующем виде:

lim (x → a) f(x, p)

где p – это параметр, а a – точка, к которой стремится x.

Для нахождения предела часто полезно подставить конкретные значения параметра. Если предел зависит от параметра, попробуйте следующие стратегии:

Для некоторых параметров может быть полезно исследовать пределы функции при x → ∞ или x → -∞. В таких случаях следует:

Рассмотрим пример: найдите предел lim (x → 1) (x^2 + px - 3)/(x - 1).

Для начала подставим x = 1. Получаем: (1 + p - 3)/(1 - 1) = (p - 2)/0. В этой ситуации предел можно оценить с помощью множественного распада.

Если p = 2, то предел будет неопределённый. Нужно разложить числитель:

(x^2 + 2x - 3) = (x - 1)(x + 3). Подставляем обратно:

lim (x → 1) (x - 1)(x + 3)/(x - 1) = lim (x → 1) (x + 3) = 4.

Решение пределов с параметрами требует внимательности и анализа. Помните, что каждый параметр способен изменить результат, поэтому важно проверять все возможные случаи. Используйте простые шаги, описанные выше, и с практикой вы значительно упростите процесс вычисления пределов с параметрами.

Решение пределов с дробно-рациональными функциями требует не только знаний теории, но и практического применения методов. Дробно-рациональные функции представляют собой деление двух многочленов, и для нахождения пределов важно учитывать поведение этих функций при стремлении переменной к определённым значениям.

В данной статье мы разберем несколько примеров и ключевых методов, позволяющих решать пределы дробно-рациональных функций. Обратим внимание на основные ошибки, которые могут возникнуть на этом пути, и предоставим полезные советы для более продуктивного решения.

Рассмотрим функцию:

f(x) = (x² - 4) / (x - 2).

Нам необходимо найти предел функции при x, стремящемся к 2:

lim (x→2) f(x).

Подставим x = 2:

f(2) = (2² - 4) / (2 - 2) = 0/0, что является неопределённостью.

Для разрешения ситуации, необходимо упростить функцию. Заметим, что числитель можно разложить:

(x² - 4) = (x - 2)(x + 2).

Таким образом, функция преобразуется:

f(x) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2).

Теперь можем сократить (x - 2):

f(x) = x + 2, при x ≠ 2.

Теперь находим предел:

lim (x→2) f(x) = 2 + 2 = 4.

Рассмотрим следующий пример:

g(x) = (3x² - 2x + 1) / (2x² + 5).

В этом случае нам нужно найти предел при x, стремящемся к бесконечности:

lim (x→∞) g(x).

Основной идеей здесь является выделение доминирующих членов в числителе и знаменателе:

lim (x→∞) g(x) = lim (x→∞) (3x²/x² - 2/x + 1/x²) / (2 + 5/x²) = lim (x→∞) (3 - 2/x + 1/x²) / (2 + 5/x²).

При x стремящемся к бесконечности, дроби с x в знаменателе стремятся к нулю:

lim (x→∞) g(x) = 3/2.

В конечном итоге, нахождение пределов дробно-рациональных функций – это задача, требующая внимательного подхода и понимания. Изучая примеры и находя пределы, вы накапливаете необходимые навыки, которые пригодятся в более сложных математических задачах. Упрощение функций, правильный анализ ведения к бесконечности и аккуратное обращение с неопределённостями – это те ключевые моменты, которые помогут вам в обучении и решении задач по математическому анализу.

Не забывайте про основные ошибки, такие как пропуск упрощений или неправильно подобранные коэффициенты. Чёткое понимание этих моментов позволит вам более уверенно работать с пределами и достигать успеха в изучении математики. Практикуйтесь на различных примерах, и со временем нахождение пределов станет для вас подсознательным процессом.

Предел функции — это значение, к которому стремится функция при приближении аргумента к определенной точке. Чтобы вычислить предел, используют различные методы, такие как подстановка, разложение в ряд, правило Лопиталя и другие. Например, если мы рассматриваем предел функции f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) при x стремящемся к 1, то можно сначала подставить 1, и увидеть, что получаем 0/0. В таком случае, мы можем упростить выражение, вынеся общий множитель — (x-1): f(x) = (x+1). Теперь, подставляя x = 1, мы получаем f(1) = 2, что и будет пределом функции при этом значении.

Рассмотрим предел lim (x -> 0) (sin(x)/x). При подстановке x = 0 мы получаем 0/0, что является неопределённостью. Здесь можно применить правило Лопиталя. Мы берём производные числителя и знаменателя: производная sin(x) — это cos(x), а производная x — это 1. Теперь находим новый предел: lim (x -> 0) (cos(x)/1), что равно cos(0) = 1. Таким образом, предел sin(x)/x при x, стремящемся к 0, равен 1.

Рассмотрим предел lim (x -> ∞) (1/x). При увеличении x, значение дроби 1/x будет уменьшаться. Если мы подставим очень большое значение для x, например 1000, то 1/1000 = 0.001. Поскольку x продолжает увеличиваться, значение 1/x будет стремиться к 0. В результате, предел лимита lim (x -> ∞) (1/x) равен 0. Этот пример показывает, как происходит поведение функции на бесконечности.

Односторонние пределы — это пределы, принимаемые функцией при подходе аргумента к определенной точке с одной стороны: слева или справа. Например, для функции f(x) = 1/x, чтобы найти левый предел при x, стремящемся к 0, мы рассматриваем lim (x -> 0-) (1/x). При этом значение будет стремиться к -∞, так как при приближении к нулю слева дробь становится отрицательной и великовозрастной. Правый предел при x, стремящемся к 0, записывается как lim (x -> 0+) (1/x), и этот предел стремится к +∞. Таким образом, односторонние пределы могут различаться, и в этом примере они показывают асимптотическое поведение функции.

Формула Лейбница применяется в случае сложных пределов, например, когда нужно оценить предел, при котором идет многократное использование производных. Рассмотрим предел lim (x -> 0) (tan(x)/x). Здесь мы видим неопределенность 0/0. Применяя формулу Лейбница, мы можем вычислить производные числителя и знаменателя. Производная tan(x) равна sec²(x), а производная x равна 1. Таким образом, мы можем найти новый предел: lim (x -> 0) (sec²(x)/1), что при подстановке x = 0 дает 1/1 = 1. Таким образом, предел tan(x)/x при x, стремящемся к 0, равен 1.