Дополнение к Закону разреженной статичной симметрии Н.А. Тенетко

Н.А. Тенетко

Настоящее дополнение фиксирует прямой математический вывод Закона разреженной статичной симметрии из Правила симметричных потоков P_{10}. Экспериментальный перебор классов n=1,\dots,8 рассматривается отдельно как инженерная проверка реализации и не используется вместо математического доказательства.

Пусть

X=d_1d_2\dots d_n,\qquad d_i\in{0,1,\dots,9}.

Определяются две операции:

R(X)=d_n\dots d_2d_1

— зеркальное отражение,

и

C(X)=(9-d_1)(9-d_2)\dots(9-d_n)

— десятичное дополнение.

Правило симметричного партнёра:

\boxed{ P_{10}(X)= \begin{cases} R(X),&X\neq R(X),\[4pt] C(X),&X=R(X). \end{cases}}

Обе операции являются инволюциями:

R(R(X))=X,C(C(X))=X.

Кроме того,

\boxed{R(C(X))=C(R(X))}.

Для десятичного дополнения неподвижная цифра невозможна:

d=9-d

означало бы

d=4.5,

что не является десятичной цифрой.

Следовательно:

P_{10}(P_{10}(X))=X

и

P_{10}(X)\neq X.

Поэтому весь класс из 10^n последовательностей разбивается на непересекающиеся двухэлементные пары.

Число первичных симметричных пар:

\boxed{ T_n=\frac{10^n}{2}=5\cdot10^{n-1}. }

I-static возникает, когда исходная последовательность является палиндромом:

X=R(X).

Тогда партнёр задаётся дополнением:

X\leftrightarrow C(X).

Пусть

n=2k.

Палиндром полностью определяется первыми k цифрами. Поэтому палиндромных последовательностей:

10^k.

Дополнение не имеет неподвижных последовательностей и соединяет эти палиндромы попарно.

Следовательно:

\boxed{ I_{2k}=\frac{10^k}{2} =5\cdot10^{k-1}. }

Пусть

n=2k+1.

Палиндром определяется первыми k цифрами и центральной цифрой, то есть всего k+1 свободными цифрами.

Следовательно, палиндромов:

10^{k+1}.

Они также попарно соединяются дополнением:

\boxed{ I_{2k+1} \frac{10^{k+1}}2 - 5\cdot10^k. }

R-static определяется условием:

\boxed{R(X)=C(X)}.

Для

X=d_1d_2\dots d_n

это равносильно:

\boxed{ d_i+d_{n+1-i}=9 }

для каждой зеркально расположенной пары цифр.

Для

n=2k

первые k цифр выбираются свободно.

После выбора каждой цифры d_i противоположная цифра определяется однозначно:

d_{2k+1-i}=9-d_i.

Следовательно, таких последовательностей:

10^k.

Каждая R-static пара содержит две последовательности:

X\leftrightarrow R(X)=C(X).

Поэтому:

\boxed{ R_{2k} \frac{10^k}{2} - 5\cdot10^{k-1}. }

Для

n=2k+1

существует центральная цифра d_{k+1}.

Условие R-static потребовало бы:

d_{k+1}=9-d_{k+1},

то есть:

2d_{k+1}=9,d_{k+1}=4.5.

Это невозможно.

Следовательно:

\boxed{ R_{2k+1}=0. }

Таким образом, R-static существуют только в чётных десятичных классах.

Обозначим:

S_n=I_n+R_n.

Для чётного класса:

S_{2k} 5\cdot10^{k-1} + 5\cdot10^{k-1}.

Следовательно:

\boxed{ S_{2k}=10^k. }

Для нечётного класса:

S_{2k+1} 5\cdot10^k+0.

Следовательно:

\boxed{ S_{2k+1}=5\cdot10^k. }

Получена полная формула статичной части каждого десятичного класса.

Все первичные пары либо статичны, либо являются переходящими R-парами.

Поэтому:

\boxed{ Q_n=T_n-S_n. }

Для чётного класса:

\boxed{ Q_{2k} 5\cdot10^{2k-1}-10^k. }

Для нечётного класса:

\boxed{ Q_{2k+1} 5\cdot10^{2k}-5\cdot10^k. }

Пусть переходящая R-пара:

A={X,R(X)}.

Применим дополнение:

C(A)={C(X),C(R(X))}.

Поскольку:

R(C(X))=C(R(X)),

полученная структура также является R-парой.

Кроме того:

C(C(A))=A.

То есть дополнение действует на переходящих R-парах как инволюция.

Если бы переходящая пара оставалась неподвижной:

C(A)=A,

то при невозможности C(X)=X оставался бы только случай:

C(X)=R(X),

а это определение R-static.

Следовательно, среди переходящих R-пар неподвижных точек нет.

Поэтому переходящие R-пары разбиваются пополам на мета-пары:

\boxed{ M_n=\frac{Q_n}{2} \frac{T_n-S_n}{2}. }

Теперь сравним классы одинаковой чётности.

Для чётного класса:

S_{2k}=10^k.

Через два класса:

S_{2k+2}=10^{k+1}.

Следовательно:

S_{2k+2}=10S_{2k}.

Для нечётного класса:

S_{2k+1}=5\cdot10^k,

а:

S_{2k+3}=5\cdot10^{k+1}.

Следовательно:

S_{2k+3}=10S_{2k+1}.

Таким образом, независимо от чётности:

\boxed{ S_{n+2}=10S_n. }

Одновременно:

T_n=5\cdot10^{n-1},

поэтому:

T_{n+2} 5\cdot10^{n+1} - 100T_n.

Следовательно:

\boxed{ T_{n+2}=100T_n. }

Это означает:

при увеличении длины последовательности на два разряда полное пространство симметричных пар увеличивается в 100 раз, тогда как число статичных симметричных пар увеличивается только в 10 раз.

Определим относительную плотность статичной части:

\rho_n=\frac{S_n}{T_n}.

Для чётных классов:

\boxed{ \rho_{2k}=2\cdot10^{-k}. }

Для нечётных:

\boxed{ \rho_{2k+1}=10^{-k}. }

Теперь:

\rho_{n+2} \frac{S_{n+2}}{T_{n+2}} - \frac{10S_n}{100T_n}.

Следовательно:

\boxed{ \rho_{n+2}=\frac{\rho_n}{10}. }

Это и является основным законом разреженной статичной симметрии:

при переходе через два десятичных класса абсолютное число статичных симметричных пар возрастает в 10 раз, но их относительная плотность среди всех симметричных пар уменьшается ровно в 10 раз.

То есть одновременно выполняются:

\boxed{ S_{n+2}=10S_n, }\boxed{ T_{n+2}=100T_n, }\boxed{ \rho_{n+2}=\rho_n/10. }

При движении по соседним классам абсолютное число статичных пар изменяется не одинаковым шагом.

Из нечётного класса в чётный:

S_{2k+2}=2S_{2k+1}.

Из чётного класса в следующий нечётный:

S_{2k+1}=5S_{2k}.

Следовательно:

\boxed{ \times2\rightarrow\times5\rightarrow\times2\rightarrow\times5\rightarrow\dots }

Для плотности действует обратная последовательность:

\boxed{ \div5\rightarrow\div2\rightarrow\div5\rightarrow\div2\rightarrow\dots }

То есть:

\rho_{2k+1}=\frac{\rho_{2k}}2,\rho_{2k+2}=\frac{\rho_{2k+1}}5.

Полный двухклассовый цикл всегда даёт:

\boxed{\div10}.

Для каждого чётного класса:

I_{2k}=R_{2k}.

Следовательно:

\boxed{ 50%\ I\text{-static} + 50%\ R\text{-static}. }

Для каждого нечётного класса:

R_{2k+1}=0.

Следовательно:

\boxed{ 100%\ I\text{-static} + 0%\ R\text{-static}. }

Таким образом, внутренний состав статичной части пульсирует:

\boxed{ 100/0 \leftrightarrow 50/50 \leftrightarrow 100/0 \leftrightarrow 50/50 \leftrightarrow\dots }

Поскольку:

Q_n=T_n-S_n,

получаем:

для чётных классов

\boxed{ \frac{Q_{2k}}{S_{2k}} 5\cdot10^{k-1}-1, }

что даёт:

4,\ 49,\ 499,\ 4999,\dots

Для нечётных классов:

\boxed{ \frac{Q_{2k+1}}{S_{2k+1}} 10^k-1, }

что даёт:

9,\ 99,\ 999,\ 9999,\dots

Следовательно, при росте класса переходящая часть становится доминирующей:

\boxed{ \frac{Q_n}{T_n}\rightarrow1. }

Так как:

M_n=\frac{Q_n}{2},

то:

\frac{M_n}{T_n} \frac{1-\rho_n}{2}.

Поскольку:

\rho_n\rightarrow0,

следовательно:

\boxed{ \frac{M_n}{T_n}\rightarrow\frac12. }

Для первых классов:

0;\ 0.4;\ 0.45;\ 0.49;\ 0.495;\ 0.499;\ 0.4995;\ 0.4999;\dots

Таким образом, по мере роста класса почти вся первичная структура становится переходящей, а количество мета-пар относительно числа первичных пар стремится к одной второй.

Правило симметричных потоков задаёт для каждого десятичного класса одну и ту же операторную процедуру, но количественное выражение возникающих структур изменяется по строгому закону.

Основной двухклассовый переход:

\boxed{ n\rightarrow n+2 }

даёт:

\boxed{ T\times100, \qquad S\times10, \qquad \rho\div10. }

При этом соседние классы образуют двухтактное изменение:

\boxed{ S:\quad\times2,\times5,\times2,\times5,\dots }

и:

\boxed{ \rho:\quad\div5,\div2,\div5,\div2,\dots }

с чередованием состава статичной части:

\boxed{ 100%,I \leftrightarrow 50%,I+50%,R. }

Таким образом, Закон разреженной статичной симметрии является не наблюдением отдельных числовых примеров, а прямым следствием структуры операций R, C и Правила симметричных потоков P_{10}.

Формулы и межклассовые отношения выше получены прямым комбинаторным выводом для произвольной длины n.

Экспериментальный перебор:

n=1,\dots,8

и:

111,111,110

десятичных последовательностей имеет другую задачу: он проверяет, что конкретная инженерная реализация воспроизводит математически определённое правило и полученные формулы без расхождений.

Поэтому необходимо различать:

\boxed{ \text{математический вывод закона} }

и:

\boxed{ \text{исчерпывающую инженерную валидацию его реализации}. }

Они не заменяют друг друга, а проверяют одну и ту же конструкцию на разных уровнях.