Продолжаю делится опытом.
Итак, спустя пару недель после того как в посольстве мне выдали однократную визу для вьезда пришло на электронную почту такое письмо
"Your residence permit is ready. Please, come to collect it in our office at 1135 Budapest, Szegedi út 35-37.
For appointment write to [email protected]
Please, bring your address card signed by the proprietor."

Т.е. необходимо принести адресную карту с подписью того кто вам жилье сдает (владельца)!
Я нашел в Facebook группу "Русские в Будапеште", там поспрашивал кто может помочь (не бесплатно). Договорился с человеком, он мне сделал договор безвоздмезного жительства, типа по дружбе (называется SZERZODES SZIVESSEGI LAKASHASZNALATROL) и эту адресную карту заполнил (ее кстати можно на английском заполнять).
Я заранее написал на указанный в письме адрес чтобы зарезервировать себе время (это обязательно). Встречу назначили через неделю от даты когда я написал.
К этому времени я прибыл в Будапешт, встретился с человеком, получил от него документы и в назначенное время был в офисе (не забудьте маску, без нее не пускают).
Меньше чем через полчаса я вышел с разрешением на проживание (residence permit).
Важная деталь: разрешение мне выдали только до конца года (31.12, в моем случае это примерно 4 месяца). Не совсем понял почему так, не могу точно сказать. Но его можно будет продлить, через сайт. Только заявку надо будет подать не позже чем за 30 дней до окончания текущего разрешения.
На этом все. Живу в Будапеште, изучаю местный колорит и все остальное.
(По жилью: если краткосрочное то booking и arnbnb, если долгосрочное - можно здесь поискать http://ingatlan.com/)