История науки: как математический анализ развился из древних парадоксальных загадок и религиозных споров Средневековья

Сегодня, живя в 21 веке, в постиндустриальном обществе мы привыкли довольно жестко противопоставлять науку и научное мировоззрение всем остальным способам познания мира и описания реальности. Однако, как указывал еще философ 20 века Пол Фейерабенд, в реальности на больших отрезках истории всё выглядело совсем иначе: наука, религия, умозрительные размышления и даже эзотерические фантазии порой шли рука об руку, помогая, идейно обогащая и стимулируя друг друга.

Особенно ярко это видно на примере развития математики и математической логики. У многих людей, как правило, с математикой бывают проблемы еще начиная со школьной скамьи. Математика кажется, чем-то абсолютно безжизненным в силу своей предельной абстрактности. На самом деле, если вдуматься, то математика – это, не побоюсь этого слова, настоящее чудо. Ведь как так получается, что при помощи ручки, листа бумаги и расчетов, для которых не надо даже из комнаты выходить, мы можем познавать чуть ли не то, что происходит на другом конце Вселенной? Об этом в своей время писал И. Кант, а позже – физик Ю. Вигнер в статье «Непостижимая эффективность математики в естественных науках». При помощи чистой математики было сделано множество удивительных открытий, но сейчас не об этом.

Интересно отметить то, что историческое развитие самой математики не представляло собой поэтапную работу ученых с сухим, академическим складом ума. История математики – это настоящее, удивительное приключение. Как видно из названия данной статьи, она посвящена истории возникновения математического анализа. Но что такое этот математический анализ? Это раздел математики, включающий в себя интегральное и дифференциальное исчисления. Звучит пока не очень весело и «приключенчески».

Изначально математический анализ возник как анализ бесконечно малых величин. Это был способ познания и практического применения особого вида математических объектов «бесконечно малых». В определенный момент, чтобы сдвинуть науку с мертвой точки и совершить очередной прорыв, ученым пришлось научиться работать с бесконечностями, а также с особого вида объектами, которые представляют собой не привычные всем нам застывшие величины, а как бы движущиеся величины, стремящиеся к определенным значениям, постоянно убегающие от ученого, который никак не может их догнать своим умственным взором. И вот казалось бы эти величины убегают в бесконечность, но в какой-то момент бесконечность вдруг оказывается «оконеченной» и, как говорят математики, «ряд сходится». Так что если с математикой вы вдруг не очень хорошо дружите, то просто представьте себе, что математический анализ – это такой раздел математики, где конечное переходит в бесконечное, а бесконечное порой оказывается конечным, числа убегают от ученых, и иногда даже приходится делить на ноль, что вроде бы как бы запрещено, но если очень хочется, то можно. Да простят меня математики за такие вольные объяснения, но я наоборот стараюсь «воевать» за математику, пытаясь, хотя бы таким образом, показать её красоту и чудесность.

Так вот. Математический анализ как анализ бесконечно малых зарождается в 17-18 веках в работах в работах Ньютона и Лейбница, однако это была уже скорее конечная точка, когда матанализ обрел явные очертания, хотя споры о нем продолжались весь 18 век (об этом ниже). Но с чего всё началось?

А началось всё, как и вообще многое в науке и философии, с Древней Греции. Вообще древние греки придавали математике огромное значение с самого начала. Первый же философ, "отец философии" Фалес Милетский, живший в 7-6 вв. до н.э. (кстати по правилам греческого языка того времени правильнее было бы говорить «Талес» или даже «Тхалес»), очень много и весьма результативно занимался математикой, привив любовь к этой науке и своим преемникам Анаксимандру и Анаксимену.

Пифагор (6-5 вв. до н.э.) и вовсе прямо заявлял, что Вселенная – это математический объект, матрица, из которой мы выходим со смертью и только тогда можем узреть истинную математическую сущность Вселенной, но затем мы перерождаемся вновь. Очень плотные занятия математикой шли у Пифагора рука об руку с эзотерикой. Пифагор, как известно, был лидером целой секты, где математика причудливым образом сочеталась с так называемыми орфическими верованиями, местами сильно напоминавшими буддизм.

Но самое интересно в контексте нашей темы начинается с философской школы элеатов, основателем которой стал современник Пифагора Парменид (6-5 вв. до н.э.). Из простого и ясного тезиса о том, что «бытие есть, а небытия нет», Парменид вывел целую философскую систему, основанную на довольном строго-рациональном и даже логико-математическом подходе к описанию реальности.

Раз бытие есть, а небытия нет, значит вся Вселенная сплошная и единая, иначе если бы бытие состояло из частей, то эти части должны были бы быть разделены небытием. В этой единой Вселенной ничего никуда не движется, движение – это иллюзия, так как если бы бытие двигалось, то оно должно было бы переходить в то место, где его ранее не было, то есть там было небытие, но небытия нет. И такой же иллюзией как движение в пространстве является и движение во времени, потому что прошлого уже нет – оно небытие, будущего еще нет – оно пока небытие, а есть только настоящее. Но так как небытия нет, то ни прошлого, ни будущего нет в принципе. Нет движения во времени. Время - лишь иллюзия восприятия.

Естественно такая философия звучит радикально даже для нашего времени, несмотря на все достижения науки и открытия в области Квантовой физики и Теории относительности, а в Античные времена такие речи и вовсе повергали слушателей в шок, и конечное же многие пытались оспорить выводы Парменида.

Для того, чтобы защитить своего учителя, Зенон Элейский, ученик Парменида, решил не спорить с оппонентами многословно и умозрительно, а представить учение своего учителя в виде парадоксов, основанных на математической логике. Любая попытка выйти из такого парадокса, по задумке Зенона, естественным образом вела или к признанию правоты Парменида или к абсурду и у оппонентов просто не оставалось иного выхода: или признать поражение или быть опозоренным абсурдностью собственных выводов. Эти парадоксы вошли в историю как апории Зенона. По моему личному субъективному мнению апории Зенона не решены до сих пор, и я постараюсь далее объяснить, почему.

Первая и самая известная апория называлась «Ахиллес и черепаха». Между Ахиллесом и черепахой 1000 шагов. Ахиллес бежит в 10 раз быстрее черепахи. Когда Ахиллес пробежит 1000 шагов, черепаха пройдет 100. Потом Ахиллес преодолеет еще 100, но и черепаха пробежит 10. Затем Ахиллес пройдет эти 10, а черепаха 1. Затем Ахиллес пройдет 1, а черепаха 0,1 и процесс таким образом будет продолжаться бесконечно. Ахиллес всегда будет позади черепахи на десятые, сотые, тысячные и так далее доли, никогда ее так и не догнав.

Уже об эту первую же загадку разбилось огромное количество интеллектуальных копий. Как только люди не пытались ее решить. Искали ошибки в рассуждениях Зенона, пытались доказать через практику в чем он не прав, говорили, что этот парадокс верен только при условии континуальности Мироздания и т.д. Апории Зенона заслуживают отдельного разбора. Я прочитал абсолютно всё, что есть в свободном доступе об апориях, я проанализировал их и с точки зрения достижений современной физики, математики и логики, и я со всей ответственностью могу заявить: все решения апорий, на мой взгляд, неудовлетворительны. Все решения апорий основаны или на натягивании совы на глобус, или на поиске ошибок, которых у Зенона нет, или на самом же парадоксе, о котором и говорит Зенон. Это очень большая тема, поэтому здесь я буду очень краток. Если интересуют подробности, то можете почитать дискуссию, развернувшуюся об апориях Зенона у меня в канале. Свое мнение об апориях я выскажу тезисно в самом конце.

Зенон был гораздо умнее тех, кто пытался с ним спорить и заранее предвидел абсолютно все их аргументы. Если человек говорил, что точно зная скорость обоих бегунов, мы легко можем рассчитать, когда один из них догонит друг друга, то Зенон тут же подсовывал такому самоуверенному оппоненту свою вторую апорию «Дихотомия». Допустим мы точно знаем скорости обоих бегунов и расстояние между ними и с учетом этого мы рассчитали, что Ахиллес догонит черепаху за 111 шагов или условно говоря за 11 минут (все цифры просто для примера, при разных изначальных данных могут быть любые значения). Но для того, чтобы Ахиллесу сделать последний 111-ый шаг, ему нужно сначала сделать полшага, а до этого четверть шага и так далее до бесконечности. Ахиллес снова не догнал черепаху. Более того, если Ахиллес должен догнать черепаху за 11 минут, то для того, чтобы наступила 11-ая минута, нужно чтобы сначала прошло полминуты, а до этого четверть минуты, а до этого 1/8 и так далее до бесконечности. Ахиллес опять не догнал черепаху. Более того! Даже если черепаха не будет двигаться вообще, Ахиллес ее всё равно не догонит, ведь если между ними 1000 шагов и черепаха не движется, то чтобы пройти 1000 шагов, Ахиллесу нужно сначала протий 500, а до этого 250, а до этого 125 и так далее до бесконечности. Ахиллес не догонит даже неподвижную черепаху! В этом и заключается смысл апории «Дихотомия».

Единственный способ решить эти две апории и не признать правоту философии элеатов – это допустить дискретность пространства и времени. Но и это Зенон предвидел! Для сторонников дискретного подхода, Зенон подготовил другую пару апорий – «Стрела» и «Стадий».

Апория «Стрела»: летящая стрела в каждый дискретный момент времени занимает определенное дискретное пространство, то есть не движется. Но если она не движется в каждый момент времени в каждой точке пространства, значит движения и нет! Если мы пытаемся извернуться и допустить, что движение – это и есть вот такой вот переход из одного дискретного состояния в другое, то тут Зенон нас уже поджидает с апорий «Стадий» («Стадион»).

«Стадий» - это абсолютно мозговыносящая апория, из которой логически можно вывести ряд парадоксов и явлений современной Квантовой механики, если хорошенько над ней подумать и суметь смотреть глубже, а не видеть в апориях Зенона только лишь «веселые древние задачки для ума». Подробное описание смысла этой апории потребовало бы много места, об этом я тоже говорю у себя в канале, так что здесь пока не будем останавливаться.

Суть в том, что решить апории «Стрела» и «Стадий», не признавая правоту элеатов, можно только если допустить континуальность пространства и времени. Но тогда мы возвращаемся к первой паре апории ("Ахиллес и черепаха" и "Дихотомия") и всё начинается заново. Хитрый Зенон загнал оппонентов в тупик.

Так, а причем же здесь математический анализ? Очевидно, что как минимум первые две апории Зенона – это попытка осмыслить бесконечно малые величины, чему и посвящен во многом математический анализ. То есть древним грекам уже в 5 веке до н.э. оставался буквально один шаг до открытия математического анализа. Им оставался один шаг до открытия той математики, которая стала буквально научной основой зарождающегося в Европе в 18 веке индустриального общества.

Все эти апории, занятия математикой и философией имели у древних греков весьма благородную цель – отыскать «архэ», то есть ту субстанцию, которая является основой Мироздания. В поисках архэ, другой древнегреческий философ Анаксагор (5 в. до н.э.) пришел к следующему выводу: «У малого нет наименьшего, но всегда ещё меньшее». Это уже не просто один шаг до математического анализа, это уже почти он и есть. И всё-таки, подойдя к самой двери, за которой скрывалось новое математическое знание, греки решили в эту дверь не входить.

В Средние века дискуссия о бесконечно малых величинах приняла религиозный характер. Богословы и религиозные-мистики рассуждали над тем, сколько ангелов может уместиться на кончике иглы. Этот спор был связан с попыткой понять, имеют ли ангелы телесное воплощение или они представлены только в виде нематериальной субстанции? В итоге спор завернул в совершенно иную сторону, и вскоре рассуждения об ангелах на кончике иглы стали восприниматься как пример бессмысленной придирки к деталям или спор о бессмысленных мелочах.

Однако сама идея бесконечно малых величин, проблема бесконечной делимости мироздания никуда не делась, пройдя, таким образом, сквозь века. Философ и теолог XV века Николай Кузанский писал: «Максимальное количество максимально велико, минимальное количество максимально мало; освободи теперь максимум от количества, вынеся мысленно за скобки "велико" и "мало", и ясно увидишь совпадение максимума и минимума...».

И вот наконец наступает 17 век – время Ньютона и Лейбница. Мне встречались такие свидетельства, что Ньютон всерьез воспринял теологические споры об ангелах и демонах, конечном и бесконечном и т.п. и размышляя над этими вопросами и открыл математический анализ практически одновременно с Лейбницем. Не могу утверждать достоверно, что именно эти размышления заставили открыть Ньютона математический анализ, однако Ньютон был тем еще оккультистом и алхимиком. Считается, что он не разделял ортодоксальные религиозные взгляды своего времени и стремился познать истинное христианство, очищенное от всего того, что было нанесено временем. Из-за этого Ньютон симпатизировал некоторым древним еретическим учениям. Так что в принципе нет ничего удивительного в том, что Ньютон мог сделать свои математические открытия рассуждая над религиозными вопросами.

Лейбниц и Ньютон долго спорили о том, кому же из них принадлежит первенство открытия математического анализа, но не это самое интересное. А самое интересное только началось, когда математический анализ как анализ бесконечно малых величин был открыт и начал постепенно распространяться в научное среде.

Математики и другие ученые долгое время не признавали математический анализ, так как считали бесконечно малые величины чем-то очень странным. Что это за величина такая, которая как бы движется? Это было очень странно и непривычно. Бесконечно малые насмешливо называли "призраками чисел", а не настоящими числами, а все реальные результаты, достигнутые при помощи математического анализа объясняли "чередой гениальных ошибок". Картина мира людей 18 века еще по средневековой инерции была статичной. До Дарвина с его теорией эволюции и Гегеля с его диалектикой был еще целый век. Людям было тяжело, но постепенно они меняли парадигму мышления со статической на динамическую, учились мыслить процессами.

Окончательно математический анализ утвердился в науке уже лишь в 19 веке благодаря работам математика Карла Вейерштрасса. Было показано, что бесконечно малые, как и бесконечно большие – это не величины (что было так тяжело принять математикам в 18 веке), а функции, и тогда всё встало на свои места.

Интересно отметить, что уже в 20 веке в математике появилось такое направление как нестандартный анализ, в рамках которого бесконечно малые признаются именно за особый вид величин, что дает свои особые удивительные результаты. Один из величайших математиков 20 века Курт Гёдель даже считал нестандартный анализ математикой будущего. Но это уже совсем другая история.

Хочется добавить, что все эти идеи удивительным образом проходя через века, через философское, религиозное, научное осмысление продолжают будоражить умы ученых и в наши дни. Современные ученые всё также ищут то самое архэ, подобно древним грекам, но уже называют его по-другому. Бесконечно малые словно оживают теперь в работах английского физика и математика Стивена Вольфрама, который считает, что Вселенная – это дискретный объект, стремящийся к континуальному состоянию. По Вольфраму, пространство состоит из дискретных частичек, которые становятся всё меньше и меньше и потому мы воспринимаем пространство как вполне непрерывное. То есть бесконечно малые в этой теории приобретают практически онтологический статус. Вольфрам считает, что уменьшение частичек пространства происходит так быстро, что ученые не могут измерить этот процесс. Частички пространства убегают от нас, как черепаха от Ахиллеса. Теория Вольфрама претендует на то, чтобы стать «Теорией всего», то есть такой теорией, которая объединит Квантовую физику и Теорию относительности в единую концепцию. И вот тут-то у нас неспроста вновь всплыли Ахиллес с черепахой. Теперь, если позволите, в маленьком приложении к этой статье, я объясню, почему апории Зенона по моему мнению не решены до сих не смотря ни на какие открытия.

Далее следует сугубо мое личное субъективное мнение, которое можно воспринимать как приглашение к дискуссии.

Апории Зенона касаются самого фундаментального вопроса современной науки – соотношение дискретного и непрерывного в нашем Мироздании. Именно поэтому Квантовая физика и Теория относительности противоречат друг другу: первая требует дискретности, вторая – непрерывности. Поэтому только тогда, когда мы найдем объединяющую эти две концепции Теорию всего, мы и сможем по-настоящему решить апории Зенона, а не натягивать сову на глобус. Какие обычно приводятся контраргументы?

Как однажды сказал величайший математик 20 века Давид Гильберт: «Мы должны знать. Мы будем знать». Эту фразу написали на его могиле. Я думаю «мы будем знать», то есть познаем величайшую истину Мироздания именно тогда, когда Ахиллес догонит черепаху.

Мой научно-философский проект