Козы и двери: что парадокс Монти Холла говорит нам о науке

Парадокс Монти Холла, названный так в честь ведущего телешоу, отбросил тень на математическую статистику, а мы взялись, уж простите за такой каламбур, пролить на эту тень свет. Помог нам в этом закончивший университет Сорбонна и в 13 лет прошедший на мехмат МГУ без экзаменов ученый-математик, двукратный победитель инженерной премии, Сергей Тищенко — основатель аналитического центра 10data, которому мы и задали будоражащие наше сознание вопросы о парадоксе Монти Холла. Итак, что за жаркие дискуссии разворачиваются вокруг парадокса трех дверей и так ли он парадоксален на самом деле — разбираемся в этой статье.

Введем в курс дела: участник телешоу должен был наудачу выбрать одну из трех закрытых дверей, за одной из которых находился автомобиль, а за двумя другими — козы. После того, как он озвучивал ведущему свой выбор, тот открывал одну из оставшихся дверей с козами и предлагал участнику изменить выбор, если он желает. Парадокс заключается в том, что обычно человек не хочет «покупаться» на уловку ведущего и остается при своем мнении — зачем менять дверь, если за обеими неизвестность? Разве есть разница?

Оказывается, есть. Об этом говорят математики: при первоначальном выборе вероятность попасть в дверь с автомобилем равна 1/3, а вероятность того, что машина окажется за одной из других дверей — 2/3. Предположим, мы выбрали самую левую дверь. Затем Монти Холл открывает дверь с козой, допустим ту, что справа от всех. Вероятность остается той же: 1/3 у выбранной и 2/3 справа, у остальных, но одна из них теперь открыта, а значит вся вероятность в 2/3 теперь приходится на закрытую дверь справа, которую мы не выбирали. Получается, изменение решения повысит вероятность выиграть машину в два раза — мы можем сменить одну треть на две. И это совершенно не очевидно.

В связи с этим, мы задались сразу пятью вопросами, на которые Сергей Тищенко дал исчерпывающие пояснения.

1. — Как коррелирует математическое объяснение парадокса Монти Холла с реальностью? В ответе на этот вопрос кроется разрешение и другого: почему это явление вообще вошло в ряды парадоксов?

Парадокс Монти Холла — иллюстрация той местности, в которой пересекаются наука, интуиция (а вместе с ней и психология поведения) и, в том числе, некий маркетинг — способ привлечь внимание к науке, которой широкие массы интересуются не так часто. В нем не кроется глубокой математической загадки, это шаг в сторону научной популяризации. К счастью, настоящим парадоксом математики он не является.

Математики «опасаются» настоящих парадоксов, это их большая тайна. Математика стоит на аксиомах, предположениях, считаемых верными. И сами по себе аксиомы допускают существование парадоксов, так как одни выбранные аксиомы могут противоречить другим. Большая тайна для математиков — в какой-то момент может появиться настоящий парадокс, из-за чего можно будет созерцать падение всей математики. Потому что если среди аксиом что-то окажется неверным — то неверным, скорее всего, окажется бóльшая часть математических строений. К счастью, мы к этому пока не пришли.

«Парадокс» кроется за нашим интуитивным восприятием. То, что кажется нам на первый взгляд правдой, оказывается некорректным уже с точки зрения науки, а настоящий ответ — совершенно другим.

2. — Парадоксы и интуиция, математика и эмоции. Как применять статистическое мышление в сложных условиях, и что общего можно выделить между статистикой и интуицией?

Еще более яркие противостояние интуиции и настоящего знания показывает история. Например, изучение окружающего мира. Как только человек познакомился с небом и звездами, появился вопрос: а как соотносятся эти величины, что вращается вокруг чего, и что является центром осязаемого нами мира? Интуиция подсказывала, что Земля есть центр. Раз человек самый главный персонаж на планете, значит и весь мир вращается вокруг этой планеты. Если зайти дальше, то можно представить Землю вообще плоской: мы смотрим на горизонт, и он кажется нам прямой линией — интуитивно понятно, что Земля плоская. И только философы, а потом ученые сказали, что земля круглая, и нет, весь мир не крутится вокруг нее, скорее наоборот.

Наука может поведать совершенно неожиданные вещи, в которые иногда даже не хочется верить. Закрывая историческую скобку, отметим греческого философа Фалеса, который начал разделять мифическое и научное. То, что нам кажется, мы отделяем от того, что можем проверить опытным, научным путем. Поиск смысла существования (философия ранней Греции вела в этом направлении своих современников, всячески пытаясь его подсказать) — попытка найти смысл не в мифическом и интуитивном понимании, а в понимании научном. Наука, с одной стороны, не приемлет интуиции — ей известны только строгие доказательства, и тем не менее, сами ученые не видят своей профессии без интуиции.

По сути своей, великие открытия продиктованы научной интуицией. Существуют интуиция физическая, математическая, и в каждой области науки она специфична. Это понимание науки, а сверх того — способность правильно предсказать верный способ решения проблемы, чтобы избежать последовательного перебора всех. Допустим, я еще не доказал теорему, а лишь представил себе ее доказательство и шаги, которые могут помочь это сделать — мне кажется, что именно они помогут решить задачу. А шагов может быть тысяча, и интуиция подсказывает мне проверить один из них, ведь проверить тысячу никогда не будет времени. Ученые могут похвастаться развитой ярчайшим образом научной интуицией. Так то, от чего наука отказывается, помогает ей развиваться.

Посмотрим на парадокс Монти Холла в двух плоскостях. С одной стороны, обыватель, взглянув на эту проблему, будет считать решение совершенно иным. Почему вероятность выигрыша увеличивается оттого, что он положительно отвечает на приглашение телеведущего сменить дверь? Но в проблему можно углубиться.

Представим задачу как математики. Наша интуиция начинает питаться знанием, и их симбиоз пограничен, граница пролегает между тем, что является правдой и абсурдом. Если задача подталкивает совершить ошибку, значит в ней есть что-то интересное, и на это математическая интуиция может обратить внимание. В будущем, когда мы будем видеть подобное в других проблемах, интуиция уже подскажет: подожди, мы уже сталкивались с этим и ошиблись, почему бы сейчас не посмотреть на задачу по-другому? Интуиция питается не только успешными шагами, но и некогда совершенными ошибками. Парадокс может заставить нас усомниться в чем-то, и это сомнение нас развивает.

- Скорее всего у древних людей интуиция, в том числе и научная, была развита куда лучше, чем у нас. Мы живем в условиях, когда многое предопределено и изучено, мы лишены того выбора, который способствует укреплению интуитивных ощущений. Верно?

Чем глубже мы уйдем в прошлое, тем большее поле для интуиции там найдем, ведь в древности практически ничего не было известно наверняка.

Представьте себе мир, в котором нет науки — ничего нового не открывается. Мы живем ровно так же, как жили десятки предыдущих поколений, и десятки поколений после нас будут жить так. Наука никак не развивается. Кто будет счастлив в первую очередь? Конечно же, крупный бизнес. Прогресс и новые технологии каждый раз подвергают испытанию рынки, уклады, каждый раз бросают вызов. Это огромный риск для бизнеса.

Каждый раз, когда вы говорите «инновации», представьте себе капельки пота, выступающие на лбу директоров крупных компаний. Бизнесу нужны ловкие управляющие, которые могут успевать за развитием технологий, иначе можно было бы легко посадить на их место роботов, управляющих по шаблону. Это и отрицательный, и положительный момент — развитие науки делает мир прекраснее. Прогресс в медицине продлевает жизнь и качество жизни людей, а математика как фундамент для остальных наук позволяет существовать тому же бурно развивающемуся финансовому сектору.

3. — Можно ли назвать данный парадокс белым пятном математики? Является ли он просчетом мат.статистики и теории вероятностей?

Конечно нет, эта загадка больше предназначена для популяризации математики. Напротив, она являет собой небольшую информационную провокацию.

Математика как наука обладает большим количеством таких «парадоксов». Например, в теории узлов существует определенная категория узлов, чтобы распутать которые, нужно сильнее запутать узел. Существовала гипотеза, согласно которой для решения задачи подходит жадный алгоритм, т.е. на каждом этапе предполагается только распутывание. Оказалось, ничего подобного. В алгоритмике существует огромное число задач, не решаемых жадными алгоритмами, которые каждый раз подталкивают нас по какому-то параметру идти всё ближе и ближе к решению. Иногда нужно сделать шаг в другую сторону — совершить что-то интуитивно не верное.

Математика — живая, развивающаяся наука, в которой создаются новые направления, и за ними очень интересно наблюдать. Но многие ее области уже достаточно исследованы, и ярких открытий, способных стать базисом наравне с уже сделанными, в них не предвидится. При этом, многие открытия в прочих областях еще не совершены, и их только предстоит обнаружить, а значит белых пятен в математике огромное количество.

У теории вероятностей есть потенциал для развития. А парадокс Монти Холла — просто призыв посмотреть на математику удивленным взглядом и заинтересоваться.

4. — Какое место парадокс Монти Холла занимает в науке?

В русском языке слово «вульгаризация» имеет негативный оттенок, но на самом деле оно не должно иметь его. Во Франции и США есть профессия — вульгаризатор науки. Это человек, который рассказывает о ней простыми словами и несет просвещение в широкие массы, привлекая интерес к проблемам ученых.

Это не тот скучный язык конференций и семинаров, он понятен и интересен школьникам. Эти люди приподнимают завесу научного мира, а их речь может стать судьбоносной для слушателя. Человек окажется очарован или просто заинтересован и изберет своей профессией то, о чем ему рассказал вульгаризатор науки. Парадокс Монти Холла может стать одной из таких тем.

5. — Какие необычные сферы вы могли бы назвать полем проявления этого алогичного постулата и есть ли в математике еще нечто подобное?

Кроме исключительно искусственных ситуаций, мы можем обратиться к более глубокой аналогии: жизненный выбор.

Представим ситуацию. Школьник выбирает направление своего развития в дальнейшей профессии, и у него есть три варианта. Математик, водитель, врач. Выбор уже сделан, но он не окончателен — школьник только склонился к одному из вариантов (например, врач), как в телешоу Монти Холла. И вдруг жизнь ставит его в ситуацию: профессию водителя запрещает здоровье, или она просто перестает симпатизировать. Это сравнимо с открытой Монти Холлом дверью. Остается выбор из двух профессий, и тут школьнику дает совет дорогой человек, который половину жизни увлекался врачеванием. Он говорит: «Зная твой характер, тебе больше подойдет занятие математикой, а врачебное дело — совершенно не твое. И вот мы оказываемся вв такой же ситуации: нам предлагают изменить свой выбор.

Парадокс жизненного пути — и что делать, проигнорировать совет и остаться с изначальным выбором? Какова вероятность ошибки, какой выбор окажется правильным… Такая задача заставляет задуматься: всегда ли мы поступаем правильно, когда настаиваем на своем, не слушая окружающих? Когда-то это правда, когда-то нам повезет. Но когда-то может и не повезти, отсюда и появляется вопрос: как часто? Как часто мы правы в своей жизни, и естественно, это не одна и не две третьих, как в задаче. Проблема начинает питать нашу интуицию. Но интуиция, конечно, зависит от конкретного человека, и кого-то она будет подводить всякий раз.

Что касается математики, теория вероятностей и статистика содержат много интересных загадок. Например, парадокс трех узников или транспортная задача. Иногда при проведении новой дороги между городами, старая не разгружается, и пробки только увеличиваются. Но настоящих парадоксов в математике не существует, есть лишь интуитивный обман воображения.