Получаем абсолютные курсы из парных кросс-курсов валют

Проект: “Абсолютный курс валют”

Проект “Абсолютный курс валют” (см. https://www.abscur.ru/) занимается анализом парных валютных курсов, выделением из них абсолютных валютных курсов и их анализом.

В рамках проекта получена методика преобразования от парных курсов к абсолютным валютным курсам. Для этого определена абсолютная валюта ABS. Курсы всех имеющихся валют выражаются в отношении к ABS.

В проекте исследуются свойства абсолютных курсов. Исследуются различные применения абсолютных курсов валют.

На сегодняшний день уже вышли несколько статей по применению метода абсолютных валютных курсов. Привожу две последние.

В статье “Исследование связанности мировых валют через корреляцию абсолютных курсов” описывается одно из применений технологии абсолютных валютных курсов. Дается формальный метод вычисления связи между различными валютами.

В статье “Портфельный метод Марковица применительно к валютному рынку” дается описывается недоступная ранее технология оптимизации валютного портфеля.

На этих двух применениях исследования не останавливаются. Проверяются другие применения технологии. Если у читателей есть свои видения о прочих возможных применениях их можно писать в обсуждениях к статье. Ссылки на места обсуждений приводятся.

Детальное описание технологии приводится в статье “От валютных пар к абсолютным курсам валют”.

В основе метода лежит разбор представления парных курсов. Парный валютный курс - это отношение ценности одной валюты к ценности другой. А если ввести некоторую универсальную абсолютную валюту ABS, то имеет место быть следующее преобразование.

Парный валютный курс есть отношение двух абсолютных курсов.

Для того чтобы получить абсолютные курсы нужно сначала прологарифмировать это уравнение.

Соответственно можно видеть, что логарифмы парных курсов линейно связаны с логарифмами абсолютных курсов валют . И значит можно поискать между ними простое линейное преобразование. Логарифмы абсолютных курсов можно умножать на матрицу прямого преобразования и получать логарифмы парных курсов .

И стоит ожидать что существует обратное линейное преобразование для перехода от парных курсов к абсолютным .

Соответственно вся методика получения абсолютных курсов записывается следующим образом.

Нужно просто логарифмировать парные курсы , умножать их на обратную матрицу и применять экспоненту.

Выше было описано как получать абсолютные курсы из парных . Это делается при помощи линейного преобразования логарифмированных парных курсов и возврата через экспоненту.

Прямое линейное преобразование от абсолютных курсов к парным производится при помощи прямой матрицы . Получить ее весьма просто. Она состоит из нулей, единиц и минус единиц (“0” - нет связи пары и валюты, “+1” - валюта в числителе пары, “-1” - валюта в знаменателе пары). Ниже можно будет ее увидеть.

Наибольшую проблему представляет получение обратной матрицы (точнее необходимо использовать псевдообратное преобразование). С ее помощью можно перейти от парных курсов к абсолютным . Но получение этой матрицы нетривиально вследствии вырожденности матрицы прямого преобразования .

В предыдущей статье дается описание одного метода получения такой матрицы. В статье “Детали перехода от парных (относительных) валютных курсов к абсолютным. Работа над ошибками” раскрывается метод получения абсолютных курсов . В эксперименте мы воспользовались приемом перехода к линейно-независимым компонентам. Таким образом удалось избавится от вырожденности в псевдообратном преобразовании.

В этой работе предлагается другой метод ухода от вырожденности в матрице прямого преобразования. В настоящее время используются парные курсы которые предоставляет РБЦ. Там 88 пар валют для экспорта. Для них существует следующая матрица прямого преобразования .

Белое в ней нули, синее -1 и красное это единицы. Но она вырожденная. Т.е. от нее не получится обратная матрица .

При проведении предыдущего эксперимента удалось заметить что диагонально подобная матрица имеет обратное преобразование. Соответственно было сделано предложение перейти к кросс-курсам и невырожденной матрице преобразования.

Весь расчет проводился в системе Wolfram Mathematica. Система позволяет получать кросс-курсы прямо внутри системы.

Всего имеются 45 валют. Для наглядности сначала рассмотрим случай с малым количеством валют и валютных пар. Расчет доступен по ссылке в облаке Wolfram Cloud.

Были отобраны следующие 10 валют: AUD, CAD, HKD, JPY, SEK, USD, CHF, EUR, CNY, CZK. Из них определили 9 валютных пар: AUD/CAD, CAD/HKD, HKD/JPY, JPY/SEK, SEK/USD, USD/CHF, CHF/EUR, EUR/CNY, CNY/CZK.

Матрица прямого преобразования имеет следующий вид.

Расцвеченный вариант выглядит так.

Размер матрицы - 10х9. Ранг матрицы - 9. Матрица невырожденная. Можно свободно искать обратную к ней.

В результате применения метода псевдообратного преобразования получаем обратную матрицу .

В расцвеченном виде так.

Размер обратной матрицы - 9х10.

Прежде чем двигаться дальше проверяем полученную матрицу. Для этого обратную матрицу умножим на прямую . Результат видим следующий.

И в расцвеченном виде.

Действительно получили единичную диагональную матрицу. Значит обратная верна.

В предыдущем эксперименте проводили проверку метода получения абсолютных курсов . Для этого из полученных абсолютных курсов восстанавливали парные курсы через матрицу прямого преобразования . Дальше сравнивали восстановленные парные курсы с исходными и смотрели ошибку. В нашем случае ошибка при такой проверке будет в пределах машинной точности.

Теперь посмотрим результаты на реальных данных. Возьмем реальные котировки парных валютных кросс-курсов и рассчитаем для них абсолютные курсы .

Были взяты ежедневные кросс-курсы за 30 дней с 28.03.2019 по 27.04.2019.

Вот матрица парных валютных курсов . Это столбцы парных валютных курсов для следующих пар AUD/CAD, CAD/HKD, HKD/JPY, JPY/SEK, SEK/USD, USD/CHF, CHF/EUR, EUR/CNY, CNY/CZK.

Вот график курса для одной из валютных пар.

Средние значения для парных курсов получились следующими.

Теперь попробуем оценить вариативность данных. Для этого используем стандартное отклонение. Но для стандартизации разделим его на среднее значение. Результаты отобразим на диаграмме.

Как можно видеть стандартные отклонения для каждой валютной пары находятся в пределах 0, 2% - 0, 9% от средних значений парных курсов .

Теперь вычисляем для парных абсолютные курсы (методика описана в разделе Методика получения абсолютных курсов). После вычислений получаем следующие ряды данных.

Это столбцы абсолютных курсов для следующих валют AUD, CAD, HKD, JPY, SEK, USD, CHF, EUR, CNY, CZK.

Приведем график абсолютного курса одной из валют.

Средние значения для абсолютных курсов следующие.

Оценим вариативность абсолютных валютных курсов .

Стандартные отклонения для абсолютных курсов каждой валюты находятся в пределах 0, 2% - 0, 7% от средних значений абсолютных курсов . И это согласуется с данными для валютных пар.

Теперь рассмотрим результаты на всех имеющихся валютах. Исходник расчета доступен по ссылке.

Полный перечень содержит следующие 45 валют: AUD, CAD, HKD, JPY, SEK, USD, CHF, EUR, CNY, CZK, GBP, ILS, NOK, NZD, RUB, SGD, ZAR, AED, ARS, BRL, CLP, COP, DKK, EGP, HUF, IDR, INR, ISK, KRW, KWD, KZT, MXN, MYR, PEN, PHP, PKR, PLN, QAR, RON, SAR, THB, TRY, TWD, UAH, VND. Для них выбраны следующие 44 валютные пары: AUD/CAD, CAD/HKD, HKD/JPY, JPY/SEK, SEK/USD, USD/CHF, CHF/EUR, EUR/CNY, CNY/CZK, CZK/GBP, GBP/ILS, ILS/NOK, NOK/NZD, NZD/RUB, RUB/SGD, SGD/ZAR, ZAR/AED, AED/ARS, ARS/BRL, BRL/CLP, CLP/COP, COP/DKK, DKK/EGP, EGP/HUF, HUF/IDR, IDR/INR, INR/ISK, ISK/KRW, KRW/KWD, KWD/KZT, KZT/MXN, MXN/MYR, MYR/PEN, PEN/PHP, PHP/PKR, PKR/PLN, PLN/QAR, QAR/RON, RON/SAR, SAR/THB, THB/TRY, TRY/TWD, TWD/UAH, UAH/VND.

Получили матрицу прямого преобразования размером 45 на 44. Ранг у нее равен 44.

Обратная матрица получилась в результате применения обратно псевдопреобразования. Размер матрицы 44 на 45.

После умножения обратной матрицы на прямую получили единичную матрицу.

Подгрузили 44 парных валютных кросс-курса. Пример одного приводим на следующем графике.

Вот данные о средних значениях курсов для каждой валютной пары.

AUD/CAD 0.951638

CAD/HKD 5.8662

HKD/JPY 14.2202

JPY/SEK 0.0834375

SEK/USD 0.107433

USD/CHF 1.00544

CHF/EUR 0.885125

EUR/CNY 7.54636

CNY/CZK 3.40522

CZK/GBP 0.0335481

GBP/ILS 4.69022

ILS/NOK 2.38106

NOK/NZD 0.173451

NZD/RUB 43.5338

RUB/SGD 0.0209621

SGD/ZAR 10.4641

ZAR/AED 0.259015

AED/ARS 11.7136

ARS/BRL 0.0907021

BRL/CLP 171.256

CLP/COP 4.72058

COP/DKK 0.00210715

DKK/EGP 2.60095

EGP/HUF 16.5291

HUF/IDR 49.5307

IDR/INR 0.00490364

INR/ISK 1.73912

ISK/KRW 9.44975

KRW/KWD 0.000266945

KWD/KZT 1248.05

KZT/MXN 0.050062

MXN/MYR 0.216251

MYR/PEN 0.803967

PEN/PHP 15.7631

PHP/PKR 2.71475

PKR/PLN 0.0269842

PLN/QAR 0.954411

QAR/RON 1.16298

RON/SAR 0.885697

SAR/THB 8.48908

THB/TRY 0.179564

TRY/TWD 5.39876

TWD/UAH 0.871089

UAH/VND 863.675

Для каждой валютной пары смотрим вариативность как и в эксперименте выше.

Стандартное отклонение для всех валютных пар находится в пределах от 0,2% до 2,5% от среднего значения.

После пересчета получаем абсолютные курсы . Вот график абсолютного курса одной из валют.

Средние значения абсолютных курсов получилось следующими.

AUD 12.4626

CAD 13.096

HKD 2.23247

JPY 0.156996

SEK 1.88165

USD 17.5149

CHF 17.4213

EUR 19.6824

CNY 2.60821

CZK 0.765955

GBP 22.832

ILS 4.86814

NOK 2.04455

NZD 11.7884

RUB 0.270822

SGD 12.9197

ZAR 1.23485

AED 4.76765

ARS 0.407218

BRL 4.49018

CLP 0.0262207

COP 0.0055548

DKK 2.63619

EGP 1.01359

HUF 0.0613224

IDR 0.00123809

INR 0.25249

ISK 0.145194

KRW 0.0153652

KWD 57.5605

KZT 0.0461203

MXN 0.921362

MYR 4.26106

PEN 5.30007

PHP 0.336241

PKR 0.123862

PLN 4.59025

QAR 4.8096

RON 4.1356

SAR 4.66938

THB 0.550046

TRY 3.06473

TWD 0.567676

UAH 0.651731

VND 0.000754602

Вариативность абсолютных курсов можно оценить по диаграмме.

Стандартное отклонение всех абсолютных курсов находится в пределах от 0,2% до 2,5% от среднего значения. Что согласуется с данными валютных пар.

Эксперимент с получением абсолютных курсов из парных кросс-курсов удался. Получен новый метод расчета абсолютных курсов. Метод работает и легко применим. Для дальнейших исследований достаточно легко получать абсолютные курсы.

Точность метода ограничена лишь точностью выдаваемых кросс-курсов.

К сожалению открытых источников кросс-курсов обнаружить в сети не получается. И соответственно не получится этот метод применить на сайте. Но при первичном сравнении абсолютных курсов с сайта и полученных в настоящем эксперименте различия были выявлены лишь в четвертом знаке после запятой. Детальное сравнение проведем в следующих работах.

Последнюю версию настоящей статьи в PDF формате можно скачать по ссылке.

Енин А.В.

Оренбург.

02.05.2019