Единственные соседние степени во всей математике

Числа 8 и 9 выглядят обычно, но их соседство уникально:

2³ = 8

3² = 9

Это единственная пара степеней натуральных чисел больше 1, которые отличаются ровно на единицу.

Иными словами, уравнение

xᵖ - yᑫ = 1

при x, y, p, q > 1 имеет только одно решение:

3² - 2³ = 1

Эжен Каталан сформулировал эту гипотезу в 1844 году. Доказать её смогли лишь спустя более 150 лет: в 2002 году это сделал математик Преда Михэйлеску.

Сегодня результат известен как теорема Михэйлеску.

Простое утверждение оказалось настолько глубоким, что для доказательства понадобились современные методы алгебраической теории чисел.