Основы геометрии для начинающих

В окружающем нас мире мы постоянно встречаем предметы, похожие на геометрические фигуры. В природе это кривые линии тропинок в лесу, параллельно расположенные стволы сосен, напоминающие прямые отрезки, овальные очертания озера, прямоугольники полей и многое другое. В городе это геометрические формы зданий, мостов, парковочных площадок, спортивных сооружений и т. д. Можно бесконечно продолжать перечень объектов, которые нас окружают, в которых мы улавливаем схожесть с линиями, окружностями, треугольниками, квадратами. Такая тесная связь окружающего нас мира с геометрией позволяет нам лучше понимать и анализировать его, использовать его свойства, основанные на геометрических понятиях.

Изучение геометрии с нуля для школьников становится проблемой, если не заниматься дополнительно. Онлайн-школа Skysmart предлагает курсы по математике, одним из разделов которой является геометрия с нуля для начинающих. Начальная подготовка по геометрии, которая предлагается в этой статье, будет полезна всем школьникам, кто только приступил к изучению этого предмета. Рассмотрим такие геометрические понятия как точка, прямая, плоскость, угол, треугольник и другие.

По определению, геометрия — математическая дисциплина, которая посвящена изучению пространственных соотношений и объектов, их форм, размеров и свойств.

Эти понятия являются основой для изучения более сложных геометрических фигур и форм. Они помогают нам анализировать и классифицировать объекты от простейших предметов до сложных конструкций. Знания геометрии могут быть применены в различных областях, таких как архитектура, инженерия, дизайн, искусство. Начнем с базовых геометрических объектов. К ним относятся:

● Плоскость. Она является основой для всех остальных геометрических объектов, так как они изображаются на ней. Плоскость представляет собой бесконечную двумерную поверхность, имеющую бесконечные длину и ширину.

● Точка: элементарный геометрический объект, из характеристик имеющий на плоскости только координаты. Размерами точки пренебрегают, хотя при увеличении точки она оказывается не идеальным объектом, каким она считается в математике. Она имеет кривые края и очень похожа на расплывчатую кляксу.

● Линия — это геометрический объект, образованный множеством точек, расположенных друг за другом в последовательности. Это, по сути, след от множества точек, оставленных грифелем карандаша или ручки на бумаге. У линии нет начала и нет конца. Изображенная на бумаге линия — это только часть ее, так как она бесконечна и выходит за границы любой плоскости.

Линии могут быть прямыми (1), кривыми (2), ломаными (3).

Прямая линия, или просто прямая (1) — это совершенно ровная линия. Кривая линия (2) — неровная, имеющая плавные изгибы. А ломаная линия имеет острые изгибы. На основе линии получают лучи и отрезки.

Разновидностью прямой является луч. Это участок прямой, ограниченный с одной стороны точкой. У него есть начало (точка), но нет конца. Началом луча является точка. Обозначается луч буквами латинского алфавита, например АВ. Переставлять буквы в названии луча нельзя.

Еще одна разновидность прямой — отрезок. Это часть прямой, ограниченная с двух сторон точками (концами отрезка).

Свойства отрезка определяются его длиной, которая может быть измерена в единицах длины. Характеристики отрезка включают его длину, положение на прямой и конечные точки. Обозначается двумя большими буквами латинского алфавита. Например, отрезок AB или BA.

Два отрезка называются равными, если они совмещаются при наложении.

Если соединить несколько отрезков между собой произвольно, то получится ломаная линия, состоящая из звеньев-отрезков. Если соединить концы ломаной линии между собой, то получится замкнутая ломаная, элементами которой являются отрезки.

Из замкнутых отрезков состоят многие геометрические фигуры.

Свойства прямой

1. У прямой линии нет начальной и конечной точки, она продолжается в оба направления бесконечно.

2. Через точку на плоскости можно провести множество прямых.

1. Через две несовместимые точки на плоскости можно провести прямую и только одну.

2. Две прямые, которые находятся на одной плоскости, будут друг по отношению к другу или параллельными, или пересекающимися (перпендикулярными в том числе).

Если две точки, принадлежащие прямой, лежат на определенной плоскости, значит, и все другие точки этой прямой лежат на этой же плоскости.

Прямая обозначается на плоскости двумя способами:

● Маленькими буквами латинского алфавита (a, b, c и т. д.)

● Двумя большими латинскими буквами, обозначающими точки, через которые проходит эта прямая.

Прямые могут разными способами располагаться на плоскости по отношению друг к другу. От этого расположения они приобретают определенные свойства и названия:

● Параллельные прямые. Они никогда не пересекаются друг с другом и не имеют общих точек (AB || CD).

● Пересекающиеся на одной плоскости прямые имеют одну общую точку (О).

● Перпендикулярные прямые пересекаются друг с другом под углом 90 градусов (AB ⊥ CD).

В комбинациях прямых, кроме этих линий, принимает участие угол. Комбинации прямых, с образованием углов и без них:

● Прямые параллельны и угол между ними равен нулю.

● Прямые пересекаются между собой и образуют угол.

● Прямые перпендикулярны друг к другу и образуют прямые углы (все четыре угла).

То есть угол — это измерение отношений между прямыми. Углом называется фигура, составленная из двух прямых линий, выходящих из одной точки.

Углов бесконечно много (от 0° до 360°).

Наиболее часто применяющиеся:

● Острый — менее 90°.

● Прямой — равный 90°.

● Тупой — более 90°.

● Развернутый угол — равный половине от полного оборота в 360°.

● Выпуклый — более 90°, но менее 180°.

● Полный — максимальный угол, равный 360°.

Взаимное расположение трех прямых

Прямые параллельны

Две прямые параллельны, третья их пересекает.

Если три прямые проведены в произвольном порядке, как например, можно разбросать три спички на поверхности бумаги, то в результате эти спички могут образовать треугольник.

В отличие от вышеперечисленных случаев (три прямые параллельны, прямые пересекаются в одной точке, две прямые параллельны, а третья их пересекает), этот случай наиболее вероятен и получаемая фигура в виде треугольника считается одной из самых распространенных и изучаемых.

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, соединяющими эти точки. Другое определение треугольника — это замкнутая ломаная линия, состоящая из вершин, сторон и углов.

Вершина — это точка угла. Угол — фигура на плоскости, которая образуется из двух прямых линий, выходящих из вершины.

Вершины треугольника обозначаются большими латинскими буквами (А, В, С). AB, BC и CA – стороны треугольника АВС. Три угла (отсюда название треугольника) – ∠ABC, ∠BCA и ∠CAB, которые могут обозначаться и одной буквой – ∠A, ∠B, ∠C.

Треугольники изучаются с древних времен. Например, теорема Пифагора, которая описывает связь между сторонами прямоугольного треугольника, является одной из самых известных и полезных теорем в математике. Без понимания треугольников и их свойств было бы невозможно дальнейшее развитие математики и других наук. Также они изучаются потому, что имеют большое практическое значение.

Треугольник является самой простой и устойчивой геометрической фигурой. Его стороны и углы жестко связаны между собой, что позволяет треугольнику сохранять свою форму и противостоять внешним нагрузкам. Именно поэтому треугольники широко используются в строительстве, архитектуре, инженерии, в создании несущих конструкций. Каркасные конструкции состоят из множества треугольников, которые образуют жесткую и прочную сетку. Это позволяет зданию сохранять свою форму даже при воздействии сильных нагрузок. Благодаря треугольникам здания становятся более устойчивыми к землетрясениям и другим природным бедствиям.

Один из наиболее ярких примеров использования треугольников на практике — это вантовые мосты. Вантовый мост поддерживается несколькими канатными конструкциями (вантами), образующими треугольники. Такая конструкция обеспечивает оптимальное распределение нагрузки и позволяет мосту противостоять сильным ветрам и другим внешним факторам. Благодаря треугольникам вантовые мосты обладают высокой прочностью и устойчивостью, что делает их надежными и безопасными для использования.

Треугольник можно использовать как инструмент для измерения расстояний. Его изучают в геометрии во взаимоотношениях с окружностью.

В зависимости от углов, которые образуются отрезками, или ломаной линией, треугольники делятся на:

1. Остроугольные (три угла острые, то есть не больше 90 градусов).

2. Тупоугольные (один из углов тупой, то есть больше 90 градусов).

3. Прямоугольные (один угол прямой, то есть равен 90 градусов).

Сумма углов любого из треугольников равна 180 градусов.

Треугольники в зависимости от характеристик отрезков, из которых они состоят, бывают:

1. Равнобедренными (две стороны равны между собой).

∆OXP – равнобедренный, так как XO = XP. В таком треугольнике равными являются боковые стороны, а третья сторона является его основанием. В ∆OXP: XO и XP — боковые стороны, OP — основание.

2. Равносторонними (все стороны равны между собой).

В ∆WYZ стороны WY = YZ = ZW.

. Разносторонними (все стороны имеют различную длину). Например, в ∆ HQL все стороны имеют разную длину.

Зная три элемента треугольника (две стороны и угол между ними; два угла и сторону; три стороны), можно вычислить остальные элементы. Эта особенность треугольника делает его важнейшим геометрическим объектом.

Треугольники могут быть использованы для создания и приближения других многоугольников, из них можно получить остальные многоугольники путем их комбинирования и объединения. Например, пятиугольник состоит из трех треугольников, где два треугольника являются боковыми сторонами, а третий треугольник образует основание. Это демонстрирует, что треугольники являются основными строительными блоками для создания более сложных фигур.

1. Сумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны. Это условие, которое определяет построение треугольника. Называется это условие неравенством треугольника.

2. Сумма всех углов треугольника составляет половину полного оборота, или, по-другому, сумма углов треугольника — два прямых угла, или 180 градусов.

Существует определенная классификация треугольников. Их можно группировать по таким признакам как схожесть или подобие и по симметрии.

Подобными называются треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

k — коэффициент подобия. Он равен отношению сходственных сторон подобных треугольников. Сходственные стороны лежат напротив равных углов.

1. Треугольники будут подобными, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

2. Треугольники будут подобными, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны.

3. Треугольники будут подобными, если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого.

Симметричные треугольники имеют три стороны и три угла, равные между собой. Такие треугольники имеют свои свойства и особенности:

Все три угла симметричного треугольника равны между собой и каждый из них составляет 60 градусов. Таким образом, у симметричного треугольника все углы равны и составляют в сумме 180 градусов.

Симметричный треугольник имеет ось симметрии. Она делит его на две равные части. У равнобедренного треугольника одна ось симметрии (рис. 1), у равностороннего три (осями симметрии являются биссектрисы).

Симметричные треугольники могут быть основой для построения различных симметричных фигур — например, ромба или квадрата.

Если увеличивать число сторон правильного многоугольника (ромба, треугольника), то полученная фигура не будет отличаться от еще одной простой, но в тоже время сложной фигуры — окружности, которая задается одним параметром — радиусом.

Радиус — расстояние от центра окружности до любой из точек на линии этой окружности. Окружности, как все правильные треугольники и многоугольники, подобны, то есть сходны между собой.

Все геометрические объекты взаимодействуют между собой.

Рассмотрим взаимодействие окружности и прямой. Их взаимодействие может быть, когда:

● Прямая расположена рядом с окружностью.

● Прямая касается окружности.

● Прямая пересекает окружность.

При взаимодействии треугольника и окружности есть два варианта:

В любой треугольник можно вписать окружность, и вокруг любого ее можно описать.

Изучение геометрии имеет практическое значение в нашей жизни. Мы уже обсудили примеры того, что геометрические задачи встречаются в нашей жизни. Стоит упомянуть еще несколько примеров, чтобы подчеркнуть важность изучения курса геометрии.

Геометрия нераздельна с такой прикладной наукой как геодезия. Знания из геометрии позволяют строить точные карты, определять расстояния и углы между объектами, проводить измерения и расчеты, необходимые для планирования и выполнения различных инженерных проектов на поверхности земли.

Также не обойтись без геометрических знаний в навигации. Определение координат, построение маршрутов и навигационных карт для перемещения объектов. Здесь важны навыки работы с геометрическими инструментами и программным обеспечением.

Можно долго перечислять возможности применения геометрии в строительстве, архитектуре, дизайне. А многие ли из вас слышали об экстремальных задачах в геометрии? Они являются важным инструментом для оптимизации объектов по различным параметрам. Одним из наиболее известных примеров таких задач является задача Дидоны, где требуется огородить участок максимальной площади при фиксированном периметре. Доказано, что максимальная площадь участка достигается в случае, когда он имеет форму окружности. Это указывает, что окружность является оптимальной формой для ограждения участка с заданным периметром. Знание решения экстремальных задач позволяет нам применять их в различных сферах нашей жизни. Например, в строительстве или дизайне, где важно оптимизировать использование пространства и достичь максимальной эффективности.

Изучение геометрии с нуля — непростая задача, но она вполне выполнима для школьников, так как начальный курс геометрии, который предлагается в онлайн-школе Skysmart, объясняется доступным языком с примерами из жизни.