Теорема Лукошка, The Lukoshko Theorem Н.А. Тенетко # Часть 07 из 16

От: 36. Теорема о различимости порождённых уровней До: 44. Совместимость с рекурсивными определениями Примечание: ниже приведён исходный текст без сокращений и изменений; служебная шапка добавлена только для навигации.

Пусть:

[ E_{k+1}=G(E_k) ]

и:

[ \ell(G(E)) = \ell(E)+1. ]

Тогда для любых:

[ i\neq j ]

выполняется:

[ \boxed{ E_i\neq E_j. } ]

По формуле уровня:

[ \ell(E_i) = \ell(E_0)+i, ]

[ \ell(E_j) = \ell(E_0)+j. ]

Если:

[ i\neq j, ]

то:

[ \ell(E_i)\neq\ell(E_j). ]

Если бы:

[ E_i=E_j, ]

то функция (\ell) должна была бы присвоить одному и тому же объекту два разных значения:

[ \ell(E_i)\neq\ell(E_j), ]

что невозможно.

Следовательно:

[ \boxed{ E_i\neq E_j. } ]

Теорема доказана.

Пусть существует оператор:

[ G: \mathcal E\to\mathcal E ]

и функция уровня:

[ \ell: \mathcal E\to\mathbb N ]

такие, что:

[ E_{k+1}=G(E_k) ]

и:

[ \ell(G(E)) = \ell(E)+1. ]

Тогда множество порождённых сущностей:

[ {E_0,E_1,E_2,\ldots} ]

бесконечно.

Рассмотрим отображение:

[ f: \mathbb N \longrightarrow \mathcal E, ]

определённое:

[ f(k)=E_k. ]

По теореме 5:

[ i\neq j \Longrightarrow E_i\neq E_j. ]

Следовательно, (f) является инъекцией.

Поэтому:

[ \boxed{ |\mathcal E| \ge |\mathbb N|. } ]

Следовательно:

[ \boxed{ |\mathcal E|=\infty. } ]

Теорема доказана.

Понятие потенциальности не используется как единственное доказательство существования нового математического объекта.

Необходимо различать:

[ \boxed{ \text{потенциальность} } ]

как ещё не проявленное допустимое отношение,

и:

[ \boxed{ E_{k+1}=G(E_k) } ]

как формальный закон существования следующего порождённого объекта.

Поэтому утверждение:

[ |\mathcal E|=\infty ]

в усиленной форме выводится не из словесного понятия возможности, а из существования оператора (G) и строгого роста уровня:

[ \ell(G(E)) = \ell(E)+1. ]

Из:

[ \dim_{\mathrm{op}}I_0=1 ]

не следует конечность множества состояний.

Единичная размерность означает только одну независимую координату фундаментального изменения.

Например, множество:

[ L = { \sigma(1,-1) : \sigma\in\mathbb R } ]

имеет линейную размерность:

[ 1, ]

но содержит бесконечно много различных элементов.

Если:

[ \sigma\in\mathbb Z, ]

то множество:

[ { \sigma(1,-1): \sigma\in\mathbb Z } ]

также бесконечно.

Следовательно:

[ \boxed{ \dim_{\mathrm{op}}I_0=1 } ]

логически совместимо с:

[ \boxed{ |\mathcal E|=\infty. } ]

Единичная размерность закона ограничивает число независимых параметров локального перехода, но не число возможных значений этого параметра и не число структур, которые могут быть организованы посредством рекурсивного применения закона.

Множество фундаментальных приращений имеет вид:

[ L = { (\sigma,-\sigma) }. ]

Если (\sigma) принадлежит полю (\mathbb F), то:

[ L = \operatorname{span} { (1,-1) }. ]

Следовательно:

[ \boxed{ \dim L=1. } ]

Функционал:

[ \varphi(S,V) = S+V ]

сохраняется при переходе:

[ T_\sigma(S,V) = (S+\sigma,V-\sigma). ]

Действительно:

[ \varphi(T_\sigma(S,V)) = (S+\sigma)+(V-\sigma) = S+V. ]

Следовательно:

[ \boxed{ \varphi\circ T_\sigma = \varphi. } ]

Таким образом, фундаментальный инвариант может быть точно интерпретирован средствами линейной алгебры как движение вдоль одномерного направления:

[ \operatorname{span}{(1,-1)} ]

при сохранении линейного функционала:

[ S+V. ]

Для двух переходов:

[ T_{\sigma_1} ]

и:

[ T_{\sigma_2} ]

имеем:

[ T{\sigma_2} \circ T{\sigma_1} (S,V) = (S+\sigma_1+\sigma_2, V-\sigma_1-\sigma_2). ]

Следовательно:

[ \boxed{ T{\sigma_2}\circ T{\sigma1} = T{\sigma_1+\sigma_2}. } ]

Нейтральный оператор:

[ T_0. ]

Обратный оператор:

[ T\sigma^{-1} = T{-\sigma}. ]

Поэтому фундаментальные переходы образуют аддитивную операторную структуру, изоморфную выбранной аддитивной области значений (\sigma).

Это уточняет математический смысл ориентационного отношения:

[ (+1,-1) \leftrightarrow (-1,+1). ]

Теорема Лукошка не требует обязательного отказа от стандартной теории множеств.

Для её формального представления можно использовать обычные типизированные множества и функции.

Например, мера может быть представлена структурой вида:

[ E = ( \operatorname{type}, \operatorname{core}, \operatorname{relations}, \operatorname{level} ). ]

Тогда:

[ M,0,1\in\mathcal M ]

не создаёт самопринадлежности.

Сокращённая запись:

[ M=(0\leftrightarrow1) ]

может интерпретироваться как:

[ \operatorname{Rel}(M)=0\leftrightarrow1. ]

Рекурсивные записи:

[ 1=10, \qquad 0=01 ]

задаются локальным оператором (U), а их итерация — корректным продолжением:

[ \widehat U:{0,1}^{}\to{0,1}^{}. ]

Отношения мер замыкаются конструктором:

[ \operatorname{MeasureRel}(X,Y)\in\mathcal M. ]

Следовательно, фундаментальные определения могут быть интерпретированы в стандартной классической математике без обязательного нарушения аксиомы фундирования.

Операторную структуру можно представить ориентированным графом:

[ D=(V,E_D), ]

где вершины соответствуют мерам, а рёбра — непосредственным отношениям.

Такое графовое представление является математической проекцией и не отождествляет саму меру с графом.

Для формализации фундаментальной связности каждой меры (X) можно использовать локальный граф:

[ H_X = \bigl( {X,M,0,1}, E_X \bigr), ]

с рёбрами:

[ X-M, \qquad M-0, \qquad M-1, \qquad 0-1. ]

При забывании ориентации этот граф связен.

Поэтому:

[ \boxed{ \operatorname{Conn}(X) } ]

может быть реализовано обычной графовой связностью локального фундаментального представления.

Если:

[ \operatorname{Foundation}(G(X)) = \operatorname{Foundation}(X), ]

то та же локальная схема существует для (G(X)), и:

[ \operatorname{Conn}(X) \Longrightarrow \operatorname{Conn}(G(X)). ]

Таким образом, фраза о сохранении связности получает конкретную математическую модель.

Если хранится только конечный построенный фрагмент операторного происхождения, он может быть представлен конечным DAG. При этом фундаментальные связи не следует опускать из графа, если граф используется именно для проверки связности всей фундаментальной конструкции.

Правила:

[ U(1)=(1,0), ]

[ U(0)=(0,1) ]

задают локальный оператор раскрытия символа.

Покомпонентное продолжение:

[ \widehat U:{0,1}^{}\to{0,1}^{} ]

задаёт корректную рекурсивную итерацию:

[ \widehat U^k. ]

Для любого конечного:

[ k ]

итерация (\widehat U^k) определена конечным числом применений правила.

Поэтому рекурсивное самоподобие может изучаться стандартными методами рекурсивных систем, переписывающих систем, автоматов и динамических операторов.

Не требуется считать бесконечно развёрнутую структуру единственным способом существования объекта.

Достаточно иметь:

[ \boxed{ \text{конечное правило}