Расчёт полных трудозатрат в трудочасовом хозяйственном устройстве: вычислительные методы, точность и организация счёта
УДК 519.86:330.4:330.111.4 JEL: C67, C63, D57, P51, O33
Михайлов Сергей Алексеевич независимый исследователь
Дисциплинарная принадлежность: экономико-математические методы, раздел межотраслевого анализа и вычислительной экономики.
Аннотация
Работа исследует вычислительную сторону трудочасового хозяйственного устройства, в котором цена определяется как сумма часов труда, затраченных на всех звеньях производственной цепочки.
Установлено, что вычисление полных трудозатрат сводится к решению системы линейных уравнений с продуктивной матрицей, вследствие чего обладает тремя свойствами, снимающими основные возражения. Ряд сходится геометрически: при спектральном радиусе, характерном для реальных экономик, десять-двадцать итераций дают точность, превышающую точность исходных данных. Ошибка входных данных затухает, а не нарастает: через пять переделов от неё остаётся от одного до восьми процентов. Разреженность матрицы снижает нагрузку на девять порядков относительно прямого обращения.
Предложен распределённый способ вычисления, при котором каждое предприятие определяет собственную величину, обмениваясь сведениями только с непосредственными поставщиками. Объём вычислений на узел составляет от ста до четырёх тысяч операций за полный цикл, что снимает необходимость в центральном вычислителе и отвечает на возражение о сосредоточении сведений.
Рассмотрены восемь источников погрешности и для каждого предложены варианты решения. Наиболее существенным признано отраслевое агрегирование: переход от двухсот отраслей к пятидесяти тысячам товарных групп сокращает погрешность по отдельной позиции с сорока до восьми процентов.
Отдельно разобрана задача совместного производства, не имеющая в межотраслевом анализе общепринятого решения; предложены пять вариантов распределения затрат с указанием области применимости каждого.
Проведено сопоставление с вычислительными задачами, решаемыми в современном хозяйстве. Установлено, что учёт движения отдельных экземпляров продукции в системах прослеживаемости и обработка счетов-фактур в налоговом администрировании представляют собой более тяжёлые задачи, чем требуемая здесь.
Ключевые слова: полные трудозатраты, межотраслевой баланс, обратная матрица Леонтьева, распределённые вычисления, агрегирование, совместное производство.
Введение
Возражение о вычислительной невыполнимости было решающим для проектов трудового учёта на протяжении полутора столетий. Оно формулируется обычно так: чтобы назначить цену изделию, надо учесть труд не только прямой, но и вложенный в оборудование, материалы и энергию, а для номенклатуры современного хозяйства это неподъёмно; кроме того, ошибки в исходных данных распространяются по всей цепочке.
Возражение имело силу, пока задача решалась вручную. Роберт Оуэн в 1832 году не мог вычислить полные затраты и потому принимал заявление самого производителя; это и погубило его биржу.
Положение изменилось дважды. Сначала — с появлением аппарата межотраслевого баланса, давшего строгую постановку задачи. Затем — с развитием вычислительных средств, сделавших её решение обыденным.
Настоящая работа рассматривает вычислительную сторону вопроса систематически: какова постановка задачи, какими способами она решается, какова достижимая точность, из каких источников возникает погрешность и как она устраняется.
Работа не рассматривает содержательных возражений против трудового учёта и не обсуждает, следует ли такое устройство вводить. Предмет ограничен вычислимостью.
1. Степень разработанности
Аппарат межотраслевого баланса разработан Василием Леонтьевым и изложен в систематическом виде в работах Миллера и Блэра. Установлены условия разрешимости системы, известные как условия Хокинса — Саймона, и свойства обратной матрицы.
Вычисление содержания единицы конечной продукции применяется в настоящее время для оценки углеродного, водного и материального следа. Международные базы межстрановых таблиц, такие как WIOD и EXIOBASE, содержат от сорока до двухсот отраслей по нескольким десяткам регионов и обновляются ежегодно.
Трудовой след вычисляется тождественно и применялся к анализу занятости, обеспечивающей потребление отдельных стран.
Проект вычислительного решения задачи хозяйственного расчёта предложен Кокшоттом и Коттреллом, показавшими осуществимость расчёта для номенклатуры порядка миллионов позиций итерационными методами.
Пробел. Систематического разбора источников погрешности применительно к задаче ценообразования не производилось: существующие приложения ориентированы на агрегированный анализ, где точность по отдельной позиции не требуется. Задача совместного производства, критическая для ценообразования, в приложениях к следам обходится соглашениями, не обсуждаемыми по существу.
2. Постановка задачи
Обозначим матрицу прямых затрат, элементы которой показывают, сколько продукции одной позиции требуется для производства единицы другой, и вектор прямых затрат труда на единицу выпуска каждой позиции.
Полные трудозатраты определяются как сумма прямых затрат и затрат, воплощённых во всех потреблённых средствах производства. Формально это решение системы, эквивалентное умножению вектора прямых затрат на обратную матрицу Леонтьева.
Разрешимость обеспечивается продуктивностью матрицы: экономика, производящая больше, чем потребляет на собственные нужды, удовлетворяет условиям Хокинса — Саймона, и обратная матрица существует и неотрицательна.
Из продуктивности следует, что спектральный радиус матрицы прямых затрат меньше единицы. Для реальных экономик он лежит в пределах от четырёх до шести десятых. Это обстоятельство определяет всё дальнейшее.
3. Способы вычисления
3.1. Прямое обращение
Обращение матрицы требует числа операций порядка куба её размера. Для миллиона позиций это десять в восемнадцатой степени операций, что при производительности порядка двадцати миллиардов операций в секунду занимает около полутора лет.
Способ непригоден и приводится для сопоставления.
3.2. Разложение с учётом разреженности
Реальные матрицы прямых затрат разрежены: типичное предприятие имеет от пяти до двухсот поставщиков, а не миллион. Доля ненулевых элементов составляет порядка одной десятитысячной.
При разреженном разложении число операций падает до трёх миллиардов, то есть до долей секунды.
3.3. Итерационное вычисление
Полные затраты представимы рядом: прямые затраты, плюс затраты первого передела, плюс второго, и так далее. Ряд сходится, поскольку спектральный радиус меньше единицы, причём геометрически.
Число итераций для достижения заданной точности:
при спектральном радиусе 0,30 — шесть итераций до точности 0,1 процента, двенадцать до 0,0001
при 0,50 — десять и двадцать соответственно
при 0,70 — двадцать и тридцать девять
при 0,85 — сорок три и восемьдесят шесть
Проверка на имитационной матрице размером две тысячи на две тысячи, плотностью 0,67 процента и спектральным радиусом 0,500 дала следующее: после пяти итераций наибольшая относительная ошибка составила 2,37 процента, после десяти — 0,074, после пятнадцати — 0,0023, после двадцати — 0,0001.
Существенно, что уже на десятой итерации точность превышает точность исходных статистических данных, погрешность которых редко бывает меньше процента.
3.4. Распределённое вычисление
Итерационная схема допускает децентрализацию, и это обстоятельство представляется наиболее важным результатом настоящего раздела.
Устройство. Каждое предприятие хранит только собственные данные: перечень своих поставщиков, объёмы потребляемого от каждого и собственные прямые затраты труда.
На каждом шаге предприятие запрашивает у своих поставщиков их текущую оценку полных затрат, умножает на объёмы потребления, прибавляет собственные прямые затраты и получает новую оценку для себя. Затем сообщает её своим потребителям.
Схема сходится к тому же решению, что и централизованное вычисление, с той же геометрической скоростью.
Объём вычислений на узел за полный цикл из двадцати итераций:
при пяти поставщиках — сто операций при двадцати — четыреста при пятидесяти — тысяча при двухстах — четыре тысячи
Это вычисление, выполнимое на карманном устройстве.
Следствия. Центрального вычислителя не требуется. Ни одно предприятие не обязано раскрывать никому, кроме своих непосредственных потребителей, ничего сверх одной величины — собственных полных затрат. Сведения о составе поставщиков и о внутреннем устройстве производства остаются у него.
Это отвечает на возражение о сосредоточении сведений, восходящее к спору о хозяйственном расчёте: рассеянное знание не собирается в центре, а обрабатывается там, где находится.
4. Источники погрешности и способы устранения
4.1. Агрегирование
Наиболее существенный источник. Если позиции укрупнены, вычисленная величина относится к средней по группе, а не к конкретному изделию.
Оценка погрешности по уровням детализации:
двести отраслей, как в межстрановых базах — до сорока процентов по отдельной позиции две тысячи подотраслей — до двадцати пятьдесят тысяч товарных групп — до восьми миллион товарных позиций — до трёх пятьдесят миллионов артикулов — менее одного
Основной выигрыш даёт переход от отраслей к товарным группам; дальнейшее уточнение улучшает результат медленнее.
Варианты решения. Первый: вести расчёт на уровне товарных групп как основной, с уточнением до позиций для товаров с большим оборотом. Второй: гибридная детализация — тонкая там, где велика доля в потреблении, грубая в остальном. Третий: расчёт на полной детализации при вычислительных возможностях, которые это допускают.
4.2. Совместное производство
Из одного процесса выходит несколько продуктов, и распределение затрат между ними не определяется однозначно. В межотраслевом анализе задача не имеет общепринятого решения.
Пять вариантов распределения:
По физической массе. Прост в применении, но искажает результат для лёгких ценных продуктов: тонна нефтяного кокса получила бы столько же, сколько тонна бензина.
По энергосодержанию. Применяется в нефтепереработке, объективен для энергоносителей, неприменим за их пределами.
По отдельно измеримому труду. Там, где переделы разделимы, затраты относятся к тому продукту, ради которого произведены. Наиболее точен, но применим не везде.
По заявкам потребителей. Затраты распределяются пропорционально тому, ради чего процесс ведётся, то есть по объёму заказов на каждый продукт. Соответствует общему устройству, где производство идёт под заказ.
Пропорционально заменяемости. Затраты распределяются по трудоёмкости раздельного производства каждого продукта, если бы оно велось отдельно. Даёт общий случай, но требует оценки гипотетического производства.
Рекомендация: третий вариант там, где переделы разделимы, пятый как общий случай, четвёртый для процессов, ведущихся ради одного продукта с побочными.
4.3. Основные средства
Труд, вложенный в оборудование, не должен относиться на продукцию одного периода. Требуется распределение по сроку службы.
Варианты. Первый: равномерное списание по нормативному сроку. Второй: списание пропорционально выработке, что точнее для оборудования с переменной загрузкой. Третий: списание по фактическому износу, что точнее всего и дороже в учёте.
Рекомендация: первый вариант как основной, второй для дорогостоящего оборудования.
4.4. Импорт
Ввозимое содержит труд, вложенный за пределами контура, и его величина неизвестна изнутри.
Варианты. Первый: расчёт по трудоёмкости страны-поставщика, если её данные доступны. Второй: расчёт по собственной трудоёмкости сопоставимого производства, что завышает или занижает в зависимости от соотношения производительностей. Третий: учёт импорта по стоимости с пересчётом через внешнеторговый контур, при котором разница относится на общий фонд.
4.5. Неполнота охвата
Часть деятельности не попадает в учёт: труд в личном хозяйстве, неформальная занятость, взаимопомощь.
Влияние на расчёт цены незначительно, поскольку эта деятельность редко входит в производственные цепочки. Влияние на измерение общего фонда труда существенно и рассматривается отдельно.
4.6. Запаздывание данных
Коэффициенты затрат изменяются с течением времени. Оценки скорости изменения:
услуги — около двух процентов в год сельское хозяйство — три процента пищевая промышленность — четыре машиностроение — шесть электроника — пятнадцать
При ежемесячном пересчёте накопленное отклонение не превышает полутора процентов даже в электронике, что ниже погрешности исходных данных.
Вариант решения: частота пересчёта, различная по отраслям и определяемая наблюдаемой скоростью изменения коэффициентов.
4.7. Ошибки во входных данных
Разобраны в разделе 5 как самостоятельный предмет.
4.8. Умышленное искажение
Предприятие может завысить собственные прямые затраты, чтобы получить более высокую норму.
Варианты противодействия. Первый: перекрёстная проверка — сумма отчётных затрат должна сходиться с наблюдаемым выпуском и численностью занятых. Второй: сопоставление с сопоставимыми производствами, при котором отклонение видно. Третий: механизм состязания заявок, при котором завышение приводит к потере заказа. Четвёртый: раздельное ведение записей заказчиком и исполнителем с обязательным согласованием.
Существенно, что при распределённом вычислении завышение одним узлом сказывается на его собственной норме и потому невыгодно ему самому.
5. Распространение ошибок
Свойство, снимающее одно из основных возражений, состоит в том, что ошибка не нарастает по цепочке, а затухает.
Причина в продуктивности матрицы: доля затрат, передаваемая на следующий передел, меньше единицы, вследствие чего ошибка умножается на величину меньше единицы на каждом шаге.
Расчёт остаточной доли ошибки:
при спектральном радиусе 0,4 — через один передел остаётся 40 процентов, через три 6,4, через пять 1,0, через десять 0,01
при 0,5 — соответственно 50, 12,5, 3,1, 0,10
при 0,6 — 60, 21,6, 7,8, 0,60
Практическое следствие. Ошибка в данных отдалённого поставщика практически не влияет на конечную цену. Значение имеют данные ближайших переделов, которых немного и которые наблюдаемы.
Это позволяет распределить усилия по проверке данных неравномерно: тщательно у ближних звеньев, выборочно у дальних.
6. Сопоставление с вычислительными задачами современного хозяйства
Полезно сопоставить требуемое с тем, что уже вычисляется.
Углеродный след продукции рассчитывается на межстрановых базах в двести отраслей по сорока девяти регионам с ежегодным обновлением. Задача тождественна по аппарату и отличается только измеряемой величиной.
Налоговое администрирование в части налога на добавленную стоимость ведёт учёт всех счетов-фактур страны непрерывно, с сопоставлением данных продавца и покупателя. Это задача того же порядка сложности, решаемая в настоящее время.
Системы прослеживаемости товаров ведут учёт движения отдельных экземпляров продукции — задача существенно более тяжёлая, чем требуемая здесь, поскольку требует индивидуального, а не позиционного учёта.
Банковский процессинг обрабатывает порядка восьмидесяти миллиардов операций в год в реальном времени.
Требуемый здесь расчёт полных трудозатрат для миллиона позиций занимает около одной десятой секунды.
Отсюда следует, что вычислительное возражение относится к состоянию техники девятнадцатого и большей части двадцатого века и в настоящее время силы не имеет.
7. Организация счёта: варианты
Три варианта организации, различающиеся степенью сосредоточения.
Первый, централизованный. Единый вычислительный центр собирает данные от всех участников и рассчитывает полные затраты. Достоинство: единообразие и простота проверки. Недостаток: сосредоточение сведений и уязвимость к захвату.
Второй, распределённый. Каждый узел вычисляет собственную величину, обмениваясь с непосредственными поставщиками, согласно разделу 3.4. Достоинство: отсутствие центра, минимальное раскрытие сведений. Недостаток: сложнее обеспечить единообразие процедуры и обнаружить умышленное искажение.
Третий, смешанный. Вычисление ведётся распределённо, а центральный орган выполняет только сверку: проверяет согласованность заявленного с наблюдаемым выпуском и занятостью, не участвуя в самом вычислении.
Рекомендация: третий вариант. Он сохраняет достоинства распределённой схемы и обеспечивает обнаружение искажений, требуя от центрального органа не вычислительных, а проверочных полномочий.
8. Самокритика
Первое, о проверке на имитационной матрице. Матрица построена случайным образом с заданными плотностью и спектральным радиусом. Реальные матрицы прямых затрат имеют структуру: блочность по отраслям, наличие узловых позиций с большим числом связей, различие плотности по секторам. Скорость сходимости на реальной матрице может отличаться, хотя направление вывода — геометрическая сходимость — от структуры не зависит.
Второе, о распределённом вычислении. Схема предполагает, что все узлы участвуют добросовестно и сообщают текущие оценки. При отказе части узлов или задержке ответов сходимость замедляется, а при систематическом искажении одним узлом ошибка распространяется на его потребителей. Разбор устойчивости схемы к отказам и искажениям в работе не проводился и составляет пробел.
Третье, об оценках погрешности агрегирования. Величины от сорока до одного процента приведены по порядку и опираются на общие соображения о дисперсии внутри групп, а не на измерение. Их следовало бы получить сопоставлением расчётов на разных уровнях детализации по одним и тем же данным, что не выполнено.
Четвёртое, о совместном производстве. Предложены пять вариантов, но не указан способ выбора между ними в конкретном случае, кроме общей рекомендации. Между тем задача имеет большое значение: в химии, нефтепереработке, металлургии и сельском хозяйстве совместное производство составляет основную форму, и произвольность распределения затрат прямо переносится в цену.
Пятое, о скорости изменения коэффициентов. Величины от двух до пятнадцати процентов в год приняты экспертно. Прямые измерения устойчивости коэффициентов межотраслевого баланса существуют и дают, по отдельным работам, большие величины для быстро меняющихся отраслей. Рекомендация о частоте пересчёта от этого не зависит качественно, но численные значения могут быть занижены.
Шестое, о вопросе, оставшемся за пределами работы. Расчёт даёт величину полных трудозатрат при известной матрице. Как получается сама матрица, то есть кто и как измеряет прямые затраты каждого производства, в работе не рассматривается. Между тем это и есть основной источник как трудоёмкости, так и возможности искажения. Настоящая работа отвечает на вопрос о вычислении и не отвечает на вопрос об измерении.
Седьмое, о статусе выводов. Все вычислительные оценки получены на имитационных данных и на сопоставлении с известными системами. Расчёт на реальной матрице хозяйства с товарной детализацией не производился, поскольку таких матриц не существует: имеющиеся базы агрегированы до отраслей.
Заключение
Вычисление полных трудозатрат сводится к решению системы линейных уравнений с продуктивной матрицей и обладает тремя свойствами, определяющими практическую осуществимость.
Ряд сходится геометрически: при спектральном радиусе, характерном для реальных экономик, десять-двадцать итераций дают точность выше точности исходных данных. Проверка на имитационной матрице подтверждает: после двадцати итераций наибольшая относительная ошибка составляет одну десятитысячную процента.
Ошибка входных данных затухает, а не нарастает: через пять переделов остаётся от одного до восьми процентов исходной величины. Это позволяет распределять усилия по проверке неравномерно.
Разреженность матрицы снижает нагрузку на девять порядков относительно прямого обращения, доводя её до долей секунды для миллиона позиций.
Предложен распределённый способ вычисления, при котором каждый узел определяет собственную величину, обмениваясь только с непосредственными поставщиками, при объёме вычислений от ста до четырёх тысяч операций за полный цикл. Способ снимает необходимость в центральном вычислителе и требует раскрытия единственной величины вместо сведений о внутреннем устройстве производства.
Рассмотрены восемь источников погрешности с вариантами решения по каждому. Наиболее существенным признано агрегирование; переход от отраслевого уровня к товарным группам сокращает погрешность впятеро.
Задача совместного производства, не имеющая общепринятого решения, разобрана с предложением пяти вариантов распределения и указанием области применимости.
Сопоставление с современным хозяйством показывает, что учёт движения отдельных экземпляров продукции и обработка счетов-фактур представляют собой более тяжёлые вычислительные задачи, чем требуемая здесь, и решаются в настоящее время.
Основной пробел настоящей работы, указанный в самокритике, состоит в том, что она отвечает на вопрос о вычислении при известной матрице и не отвечает на вопрос об измерении самой матрицы. Второй вопрос представляется более трудным и требует отдельного исследования.
Литература
1. Leontief W. Input-Output Economics. 2nd ed. Oxford University Press, 1986.
2. Miller R., Blair P. Input-Output Analysis: Foundations and Extensions. 2nd ed. Cambridge University Press, 2009.
3. Hawkins D., Simon H. Note: Some Conditions of Macroeconomic Stability // Econometrica. 1949. Vol. 17, № 3.
4. Timmer M. et al. An Illustrated User Guide to the World Input-Output Database // Review of International Economics. 2015. Vol. 23, № 3.
5. Stadler K. et al. EXIOBASE 3 // Journal of Industrial Ecology. 2018. Vol. 22, № 3.
6. Peters G. From Production-Based to Consumption-Based National Emission Inventories // Ecological Economics. 2008. Vol. 65, № 1.
7. Wiedmann T., Lenzen M. Environmental and Social Footprints of International Trade // Nature Geoscience. 2018. Vol. 11.
8. Lenzen M. Aggregation versus Disaggregation in Input-Output Analysis // Economic Systems Research. 2011. Vol. 23, № 1.
9. Bouwmeester M., Oosterhaven J. Specification and Aggregation Errors in Environmentally Extended Input-Output Models // Environmental and Resource Economics. 2013. Vol. 56.
10. Cockshott P., Cottrell A. Towards a New Socialism. Nottingham: Spokesman, 1993.
11. Cockshott P., Cottrell A. Calculation, Complexity and Planning // Review of Political Economy. 1993. Vol. 5, № 1.
12. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. 2nd ed. SIAM, 2003.
13. Hayek F. The Use of Knowledge in Society // American Economic Review. 1945. Vol. 35, № 4.
14. Струмилин С. Г. Проблемы экономики труда. М.: Наука, 1982.
15. Михайлов С. А. Трудочасовая модель хозяйственного устройства. 2026.
Приложение. Условия расчётов
Проверка сходимости выполнена на матрице размером две тысячи на две тысячи, построенной случайным образом: число поставщиков у позиции распределено равномерно от трёх до двадцати пяти, доли затрат нормированы так, чтобы сумма по строке лежала в пределах от 0,35 до 0,65. Полученный спектральный радиус — 0,500, плотность — 0,67 процента.
Оценки вычислительной нагрузки выполнены при производительности порядка двадцати миллиардов операций в секунду, что соответствует обычному серверному оборудованию.
Оценки погрешности агрегирования и скорости изменения коэффициентов приняты экспертно и характеризуют порядок величин.
Все приводимые значения следует читать как оценки порядка, а не как результаты измерения.