Эмуляция плечевого (leveraged) ETF

Плечевые (leveraged) ETF — это торгующиеся на фондовой бирже ценные бумаги, которые позволяют повторить движение другой ценной бумаги внутри торгового дня с множителем 2 или 3, увеличивая таким образом и потенциальные убытки и прибыль.

Разберемся, как конкретно они работают, создав свою собственную эмуляцию.

Плечевые (leveraged) ETF отслеживаются с 2006-го года. Одним из первопроходцев стал ProShares ULTRA S&P500. Чтобы тщательно изучить поведение плечевых (leveraged) ETF во время прошлых кризисов, включая Великую Депрессию, понадобится история цен на промежутке времени начиная минимум с 1920-го года. Такая история цен доступна только для индексов, например DJIA и S&P. Поэтому для начала придётся научиться самостоятельно вычислять цены Leveraged ETF по данным базовых активов, чтобы потом использовать эти цены для индексов.

В открытых источниках есть похожие исследования, например: Simulating Returns of Leveraged ETFs. Однако, ни одно из них не делится достаточными деталями для полного воспроизведения формулы.

Биржевой фонд (ETF) с плечом (leverage) — это ценная бумага, которая использует производные финансовые инструменты и долговые обязательства для усиления доходности базового актива. В то время как традиционный биржевой фонд обычно отслеживает ценные бумаги в своем базовом индексе в отношении 1 к 1, ETF с плечом может стремиться к соотношению 2:1 или 3:1. Таким образом, и прибыль и убытки увеличиваются в 2 или 3 раза. Плечо действует только внутри торгового дня, поэтому в долгосрочной перспективе результат может быть любым. Подробности можно изучить тут: Investopedia, Leveraged ETF.

Основной риск плечевых (leveraged) ETF, также известный как volatility decay — это обесценивание при разнонаправленных колебаниях рыночных цен на базовый актив:

Плавно погрузиться в изучение Leveraged ETF можно с помощью последовательного чтения следующих материалов.

Мы будем делать нашу эмуляцию образца TQQQ на основе цен базового актива QQQ и назовем ее TQQQ-1. Выбор образца основан на подробности и понятности проспектов, а также на популярности в социальных сетях в момент написания этих строк.

Для сверки будущих результатов нашего TQQQ-1 возьмем исторические данные образца TQQQ и его базового актива QQQ.

Можно было бы взять и более точные данные из стакана, но хотелось бы сделать такую эмуляцию, которую можно было бы легко использовать для других индексов. Поэтому в данном случае мы изначально жертвуем точностью данных.

Для наглядности, сравним графики базового актива QQQ, QQQ с реинвестированием дивидендов (с учетом налога в 13%) и образца TQQQ:

Конкретные значения на начало и на конец периода:

Проспект TQQQ (proshares ultrapro QQQ) говорит, что образец TQQQ умножает на 3 результат инвестирования в базовый актив QQQ внутри каждого дня:

Чтобы можно было сравнивать цены нашего TQQQ-1 и образца TQQQ в последний день, цену нашего TQQQ-1 в первый день сделаем равной цене образца TQQQ.

TQQQ-1 Price (Day(1)) = TQQQ Price (Day(1))

Начиная со второго дня цену нашего TQQQ-1 будем вычислять исходя из цен базового актива QQQ и прошлых цен нашего TQQQ-1 на основе описания алгоритма в проспекте. Таким образом получим базовую формулу для нашего TQQQ-1:

TQQQ-1 Price (Day(X+1)) = TQQQ-1 Price (Day(X)) * (1 + (B/A — 1) * Leverage=3)
A = Start QQQ Price
B = End QQQ Price

В данный момент мы не знаем наверняка, какие именно цены нужно использовать вместо букв A и B: открытия, закрытия, или какие-то другие. С этим нам еще предстоит разобраться в будущем, смотрите далее главу “Поиск подходящих цен”.

У образца TQQQ есть годовые расходы, Annual-TER(TQQQ) = 0.95%. В наших расчетах нас будет интересовать Daily-TER(TQQQ, Day(X)). Он должен быть такой, чтобы выполнялось следующее условие:

X * (1 — Daily-TER(TQQQ, Day(X))) ^ Trade-Days-In-Year(Year(Day(X)) = X * (1 — Annual-TER(TQQQ))

Здесь Trade-Days-In-Year — это количество торговых дней в календарном году, в которые ETF может эффективно учитывать этот TER в своей стоимости. За последние несколько лет возьмем данные из википедии: Wikipedia: Trading day.

В долгосрочных исторических расчетах для упрощения мы будем брать Trade-Days-In-Year равным количеству фактически имеющихся рыночных данных в календарном году. Первый и последний года с неполными рыночными данными будем экстраполировать как среднее арифметическое от количества торговых дней в ближайших календарных годах.

Таким образом, вычисляем Daily-TER.

Daily-TER(TQQQ, Day(X)) = 1 — (1 — Annual-TER(TQQQ)) ^ (1 / Trade-Days-In-Year(Year(Day(X)))

У QQQ тоже есть свои расходы, Annual-TER(QQQ) = 0.2%. Образец TQQQ покупает не сам фонд QQQ напрямую, а лишь входящие в состав его индекса активы. Investment Objective образца TQQQ говорит:

Поэтому эффект от TER QQQ нужно устранить при расчетах нашего TQQQ-1, увеличив цены фонда QQQ на Annual-TER(QQQ) годовых.

Новая формула для нашего TQQQ-1 (жирным здесь и далее выделены изменения в формуле по отношению к её предыдущей версии):

TQQQ-1 Price (Day(1)) = TQQQ Price (Day(1))
TQQQ-1 Price (Day(X+1)) = TQQQ-1 Price (Day(X)) * (1 + (B/A — 1) * Leverage=3 - Daily-TER(TQQQ, Day(X+1)))
A = Start QQQ Price * POWER(1 + Daily-TER(QQQ, Day(X+1)), DAY(Start QQQ Price))
B = End QQQ Price * POWER(1 + Daily-TER(QQQ, Day(X+1)), DAY(End QQQ Price))
DAY(Start QQQ Price), DAY(End QQQ Price) are in (X, X+1)

Так как мы пока не определились, какие конкретно цены мы берём, то не знаем и конкретные даты: X или X+1. Однако, день цены B может или совпадать со днем цены А, или быть следующим торговым днем — других вариантов нет. Поэтому получаем упрощение формулы:

B/A = (Start QQQ Price * POWER(1 + Daily-TER(QQQ, Day(X+1)), DAY(Start QQQ Price))) / (End QQQ Price * POWER(1 + Daily-TER(QQQ, Day(X+1)), DAY(End QQQ Price))) =
| B / A, if DAY(A) == DAY(B);
| B * (1 + Daily-TER(QQQ, Day(X+1))) / A.

Тогда новая формула для нашего TQQQ-1:

TQQQ-1 Price (Day(1)) = TQQQ Price (Day(1))
TQQQ-1 Price (Day(X+1)) = TQQQ-1 Price (Day(X)) * (1 + (BdivA — 1) * Leverage=3 - Daily-TER(TQQQ, Day(X+1)))
BdivA =
| B / A, if DAY(A) == DAY(B);
| B * (1 + Daily-TER(QQQ, Day(X+1))) / A.
A = Start QQQ Price
B = End QQQ Price

В самом начале для цен в формуле нашего TQQQ-1 мы использовали условные обозначения A и B. Пришло время их уточнить на основе данных опытным путём.

Всего в нашем распоряжении для базового актива QQQ и образца TQQQ три цены: Open, Close, Adj Close, два дня: текущий и предыдущий.

Посчитаем наш TQQQ-1 по формуле и выберем между Close и Adj Close, подставив их во всех возможных вариантах вместо A и B.

Таблица выше наглядно показывает, что использование Close и Adj Close в расчетах дает абсолютно идентичные результаты, несмотря на различные значения цен.

Теперь для комбинации B-A осталось только четыре подходящих варианта:

Таблица выше наглядно показывает, что в качестве комбинации B-A стоит выбирать или Open2-Open1, или Close2-Close1, и тогда новая формула для нашего TQQQ-1 будет такой:

Price = Open or Close Price
TQQQ-1 Price (Day(1)) = TQQQ Price (Day(1))
TQQQ-1 Price (Day(X+1)) = TQQQ-1 Price (Day(X)) * (1 + (B * (1 + Daily-TER(QQQ, Day(X+1))) / A — 1) * Leverage=3 — Daily-TER(TQQQ, Day(X+1)))
A = QQQ Price (Day(X))
B = QQQ Price (Day(X+1))

Последнее, что нам осталось — это выбрать между open и close ценами. График образца TQQQ и нашего TQQQ-1 с учетом всех расходов отдельно для цен открытия и закрытия:

Конкретные значения на начало и на конец периода:

Графики нашего TQQQ-1 и конкретные значения на конец периода наглядно показывают, что Close цены для нашего TQQQ-1 дают более похожие на образец TQQQ результат. Таким образом новая формула для нашего TQQQ-1 будет такой:

TQQQ-1 Close Price (Day(1)) = TQQQ Close Price (Day(1))
TQQQ-1 Close Price (Day(X+1)) = TQQQ-1 Close Price (Day(X)) * (1 + (B * (1 + Daily-TER(QQQ, Day(X+1))) / A — 1) * Leverage=3 — Daily-TER(TQQQ, Day(X+1)))
A = QQQ Close Price (Day(X))
B = QQQ Close Price (Day(X+1))

Согласно проспекту, образец TQQQ (proshares ultrapro QQQ) использует производные финансовые инструменты (Derivatives: Futures Contracts, Swap Agreements) и инструменты денежного рынка (Money Market Instruments: U.S. Treasury Bills, Repurchase Agreements) — которые не выплачивают дивиденды.

Однако, давайте проверим, что получилось бы, если бы купленный с плечом (Leverage=3) базовый актив QQQ выплачивал внутри дня дивиденды, а образец TQQQ реинвестировал их. Формула для нашего TQQQ-1 согласно этой гипотезы:

TQQQ-1 Close Price (Day(1)) = TQQQ Close Price (Day(1))
TQQQ-1 Close Price (Day(X+1)) = TQQQ-1 Close Price (Day(X)) * (1 + ((B * (1 + Daily-TER(QQQ, Day(X+1))) + Dividend(QQQ, Day(X+1))) / A — 1) * Leverage=3 — Daily-TER(TQQQ, Day(X+1)))
A = QQQ Close Price (Day(X))
B = QQQ Close Price (Day(X+1))

На точные ежедневные бесплатные данные рассчитывать не приходится, поэтому берем открытые данные по дивидендам: QQQ Dividends Only: Aug 31, 2009 — May 04, 2020.

Базовый актив QQQ платит дивиденды не каждый день, а примерно ежеквартально, поэтому отдельно давайте проверим, что получилось бы, если бы движение базового актива QQQ внутри дня учитывало ежеквартальное поступление дивидендов.

Конкретные значения на начало и на конец периода:

Графики нашего TQQQ-1 и конкретные значения на конец периода наглядно опровергают гипотезу с выплатой и реинвестированием дивидендов базового актива QQQ внутри дня.

Согласно проспекту, образец TQQQ (proshares ultrapro QQQ) фонд использует также обычные акции публичных компаний.

Реинвестирование дивидендов от акций входящих в состав индекса QQQ и результаты вложения в US Treasury Bills — не входят в Investment Objective образца TQQQ.

Однако, давайте проверим, что получилось бы, если бы эти обычные акции выплачивали внутри дня дивиденды, а образец TQQQ реинвестировал их.

Отношение входящих в образец TQQQ активов по данным TQQQ Holdings (Yahoo! Finance) и ultrapro QQQ: DAILY holdings отличается.

Будем верить официальному проспекту ultrapro QQQ: DAILY holdings.

Данные в этом проспекте меняются, поэтому соберем статистику за несколько дней.

Таблица выше показывает, что образец TQQQ на примерно 61% состоит из составных частей самого индекса QQQ и на примерно 8.5% состоит из united states treasury BILL с датами погашения 6/25/20 и 9/24/20, для которых наиболее близким по составу индексом является 13 Week Treasury Bill (^IRX) Historical Prices Feb 11, 2010 — May 04, 2020.

Согласно проспекту, образец TQQQ (proshares ultrapro QQQ) квалифицируется как RIC. Согласно правилам RIC (Dictionary by Farlex: Regulated Investment Company), образец TQQQ должен был бы распределять 90% дивидендов, поступающих от составных частей индекса QQQ:

Возьмем данные о выплате дивидендов за последние три года:

Рассчитаем ожидаемые размеры выплат дивидендов на основе данных QQQ:

Вот какие дивиденды выплачивает образец TQQQ в реальности:

Как видим, 0.28% не похоже на 90% от 1.57%. Если бы мы учли united states treasury BILL, то разница была бы еще больше. Такая существенная разница на практике окончательно опровергает гипотезу с выплатой и реинвестированием дивидендов от составных частей образца TQQQ.

Попробуем разобраться, можно ли избавиться от каких-то элементов в формуле нашего TQQQ-1 как от статистических мало значимых.

Конкретные значения на начало и на конец периода:

Графики и конкретные значения на конец периода показывают, что отсутствие каждой из частей формулы нашего TQQQ статистически значимо:

Нашему TQQQ-1 удалось повторить образец TQQQ в пределах погрешности, используя в формуле только статистически значимые параметры и опровергнув гипотезы про реинвестирование дивидендов.

Финальная формула нашего TQQQ-1:

TQQQ-1 Close Price (Day(1)) = TQQQ Close Price (Day(1))
TQQQ-1 Close Price (Day(X+1)) = TQQQ-1 Close Price (Day(X)) * (1 + ((B * (1 + Daily-TER(QQQ, Day(X+1) + Dividend(QQQ, Day(X+1))) / A — 1) * Leverage=3 — Daily-TER(TQQQ, Day(X+1)))
A = QQQ Close Price (Day(X))
B = QQQ Close Price (Day(X+1))

Графики образца TQQQ и нашего TQQQ-1:

Пишите в личку, дам большой XLS файл.

Управление риском портфеля с помощью плечевых (leveraged) ETF