Как применение ряда Тейлора помогает в экспресс-оценке изменения цены опциона колл
Допустим нам необходимо мгновенно “оценить”, как изменится цена нашего опциона колл в случае изменения цены базового актива или (и) волатильности. Мы конечно можем… Давайте предположим, что не можем и оценка нужна здесь и сейчас.
Вывод ряда Тейлора.
Поможет нам здесь Тейлор. В свое время этот английский математик вывел, что функцию можно описать, как бесконечную сумму степенных функций (давайте возьмем это за базу без каких-либо допущений - для материала по опционам это более, чем достаточно). Сделаем небольшой мысленный эксперимент, чтобы ощутить всю прелесть данной изящной математической идеи. Тут потребуются школьные знания математики. Через это придется пройти, чтобы понять мысль, объединяющую Тейлора и нашу задачку с опционами. Сейчас мы выведем ряд Тейлора для функции и это очень просто.
Предположим у нас есть функция f(x). Давайте ее запишем как:
f(x) = a0+a1*x^1+a2*x^2+a3*x^3.. и так далее. Предположим, что x=0, получается f(x)= a0.
Следующим шагом возьмем производную функции. Получается f’(x) = a1+2*x*a2+3*x^2*a3 и так далее. Если же мы подставим x=0 для f’(x)=a1. Берем дальше производную f’’(x), получается уже f’’(x)=2*a2+6*x*a3 и так далее, если же мы подставим x=0, то f'’(x)=2*a2.
Берем уже 3-ю производную функции , получается f’'’(x) = 6*a3+24*x*a4 и так далее, если же мы подставим x=0, то f''’(x)=6*a3. Получается интересный момент, смотрите:
a0=f(0)
a1=f'(0)
a2=f''(0)/(1*2)
a3=f'''(0)/(1*2*3)
В знаменателе получается у нас факториал. То есть a3=f'''(0)/3!. Теперь эту функцию мы можем записать немного в другом виде. f(x) = a0+a1*x^1+a2*x^2+a3*x^3..= f(0) + f'(0)/1!*x+f''(0)/2!*x^2 и так далее. По факту мы сейчас представили функцию в виде ряда Тейлора, и так можно представить практически любую функцию.
А где опционы, и где Тейлор?
В случае опционов мы будем использовать ряд Тейлора для оценки изменения его цены, в случае изменения цены базового актива и (или) волатильности.
В базовом активе у нас дельта и гамма. В волатильности у нас вега.
Как мы знаем, первая производная цены опциона по цене базового актива - это дельта, а вторая соотвественно - это гамма. Таким образом, мы можем сделать вывод, что изменение цены базового актива ...и тут приходит Тейлор. А именно, изменение цены базового актива изменит цену опциона следующим образом:
f'(0)/1!*x+f''(0)/2!*x^2, где
x = величина изменения цены базового актива
f'(x) = это дельта опциона
f''(x) = это гамма опциона
То есть в случае изменения цены базового актива на Х, цена опциона колл изменится на дельта опциона*изменение цены базового актива плюс 1/2 умноженная на гамму опциона и квадрат изменения цены базового актива. В этом была вся помощь со стороны г-на Тейлора.
С точки зрения волатильности мы эту функцию записываем еще проще.
f'(0)/1!*x
То есть изменение цены опциона по волатильности равно произведению самого изменения волатильности на вегу.
Пример. У нас есть базовый актив с ценой 100 и волатильностью 30% его цена снижается до 28 и волатильность падает до 25%. Как изменится цена опциона. Можно конечно взять БШ, а можно зная 3 греки сделать это в уме.