Богатые богатеют, а бедные беднеют. Причина — дисперсия

Математика и психология долгосрочных прибылей и убытков!

В статье разберём причины уже привычной жизненной парадигмы.

Мы начнем с рассмотрения гипотетической игры со ставками. После этого посмотрим, что теория ожидаемого значения может сказать об этой гипотетической ставке. Далее мы рассмотрим, что говорит теория ожидаемой полезности и какое место во всем этом занимает дисперсия.

К концу поста вы уже сможете оценить некоторые математические и психологические последствия финансовых решений и финансовых прибылей/убытков на фондовых рынках, пенсионных фондах, индексах, опционах, а так же при более простых инвестиционных решениях.

Допустим, вам предлагают ставку (вероятность выигрыша 50%) — что-то вроде честного подбрасывания монеты. Если вы выиграете, вы получите два миллиона долларов. Если вы проиграете, вы потеряете один миллион долларов . Простая игра, не так ли?

Сыграли бы вы в эту игру? Это решение не обязательно простое. В конце концов мы увидим, почему. Но сначала давайте посмотрим, что теория математического ожидания может сказать об этой игре.

Если вы хотите правильно и глубоко понимать концепцию ожидаемой стоимости, ознакомьтесь с ней в интернете. Но если у вас мало времени или вам просто лент, вот краткий ускоренный курс: мы рассчитываем ожидаемую стоимость ставки, умножая значение каждого возможного исхода на его вероятность и суммируя все условия.

В нашем случае у нас есть только две возможности: выигрыш или проигрыш (каждая с вероятностью 50%). Следовательно, мы могли бы рассчитать математическое ожидание ставки следующим образом:

Это то, что мы назвали бы ставкой с положительным математическим ожиданием. Другими словами, это выгодная ставка. В соответствии с теорией ожидаемой ценности вы должны сделать эту ставку.

Но смогли бы вы? Если вы чувствуете себя неловко из-за решения сделать такую ставку, вы не одиноки. Чтобы понять, почему эта ставка не для всех, давайте посмотрим на это все с другой точки зрения.

Видите ли, вымышленный рациональный человек из плохо написанного учебника по экономике принял бы ставку на основе математического ожидания. Но, увы, все мы настоящие люди с реальными эмоциями и проблемами.

Допустим, вы типичный человек с мизерными сбережениями или без них вообще. Если вы выиграете пари, вы с радостью получите два миллиона, не беспокоясь о том, чтобы работать всю оставшуюся жизнь. Но если вы проиграете пари, вы потеряете больше, чем имеете…вы будете уничтожены!

С другой стороны, рассмотрим транснациональную корпорацию. Это не реальный человек с реальными проблемами. Для такой организации ставка на ожидаемую ценность имеет смысл. Потому что потеря миллиона время от времени не сильно повредит корпорации. Но если корпорация будет принимать ставки достаточно часто, она будет зарабатывать в среднем 500 000 долларов за ставку .

Другими словами, для того, чтобы получить выгоду от положительного матожидания ставки, должен сработать закон больших чисел. Предположим, что убыток для организации равен -1 Utils (Utils — условная единица полезности). С другой стороны, пусть выигрыш для организации равен +2 Utils . Итак, в целом ожидаемая полезность для корпорации выглядит следующим образом:

Ясно видно, что здесь для организации 1 util равен 1 миллиону $.

Однако, в случае с одним человеком… для вас выигрыш по ставке может изменить вашу жизнь — скажем, вы получаете +10 Utils . С другой стороны, если вы проиграете ставку, вы полностью разоритесь — скажем, вы потеряете -1000 Utils . Ожидаемая полезность для вас выглядит так:

Если мы оценим ваш риск по шкале полезности корпорации, ожидаемая полезность составит -495 миллионов $. Тогда неудивительно, почему эта ставка не имеет смысла для обычного человека. Но подождите, это ещё не все…

Итак, отрицательное значение полезности говорит нам кое-что очень важное: принять ставку для вас хуже, чем потерять 500 000 $ (ожидаемое значение), и это даже еще хуже, чем вообще ничего не делать!

Это связано с тем, что ставка имеет для вас асимметричный исход. У вас есть 50% шанс выиграть хорошие деньги. Но в то же время у вас есть 50% шанс полного уничтожения, если вы примете ставку. В бизнесе это известно как «собирать монетки перед катком». Вы зарабатываете немного денег, пока вас в конце концов не сбивают.

Но этот принцип не действует по отношению к корпорации. Она не обанкротится после нескольких проигрышей время от времени. Таким образом, положительное ожидаемое значение гарантирует, что корпорация в среднем будет зарабатывать деньги в долгосрочной перспективе .

Другими словами, чем вы богаче, тем больше рисков вы можете принять, делая финансовые ставки — при условии, что ставки имеют в среднем положительное математическое ожидание.

Почему? А все потому, что чем больше у вас капитал, тем меньше вы реагируете на дисперсию.

Что же означает это слово в данном контексте? Давайте узнаем…

На данный момент мы установили, что когда вы делаете ставку со значительным шансом на вайп-аут, вы подбираете монетки перед катком.

Как решить эту проблему? Как насчет того, чтобы увеличить свое кредитное плечо в десять тысяч раз и сделать такую же ставку? Таким образом, вы выиграете двадцать миллиардов, если выиграете, и потеряете десять миллиардов, если проиграете.

Звучит абсурдно, правда? Кроме того, это не так! Экономика держится на слабых силах, которые действуют в тандеме. Если вы рискуете потерять 2 миллиона, это ваша проблема. Но если вы рискуете потерять десять миллиардов, это проблема общества или правительства. Исторически сложилось так, что многие корпорации хорошо себя зарекомендовали, а в нужный момент правительства печатали деньги, чтобы удержать рынки и эти компании от падения.

Вернемся к дисперсии — она измеряет, насколько экстремальны возможные результаты в зависимости от вашего решения и насколько вероятно, что вы столкнетесь с этими экстремальными результатами. Когда мы сравниваем ставки с одинаковым/похожим положительным математическим ожиданием, люди обычно склонны выбирать ставки с меньшей дисперсией.

Именно к этому стремятся такие стратегии, как диверсификация портфеля. Когда вы инвестируете в крупный индексный фонд, вы раскладываете яйца по разным корзинам. Таким образом, если одна корзина разввлится, остальные не обязательно упадут вместе с ней. Другими словами, меньшая дисперсия.

С другой стороны, крупные корпорации могут допустить более высокую дисперсию и получить больше за более короткий промежуток времени. В случае надвигающегося системного кризиса правительства, скорее всего, вмешаются и помогут.

Марк* — начинающий менеджер хедж-фонда. С прошлого года он разрабатывает «сложные» финансовые модели и получает хорошие результаты. В какой-то момент заинтересованные «инвесторы» захотели отдать ему свои деньги под проценты. Но Марк сказал им «нет».

Почему? Потому что дисперсия! Это правда, что Марк видел хорошие результаты. Но его модели также работали с высокой дисперсией. Марк знал, сколько он может терпеть в плане колебаний портфеля. Но у него нет возможности узнать, сколько могут или не могут терпеть внешние инвесторы.

Большинство предприятий по управлению капиталом связаны с преодолением дисперсии. Когда рынки падают, люди пугаются и обычно пытаются спасти то, что могут, выводя деньги из фондов. Представьте, что ваш лучший друг ударил вас в живот, когда вы пришли к нему с болью в животе.

Это называется бегством из банка или бегством из фонда. Если фонд не структурирован должным образом, он рухнет. Вот почему большинство хедж-фондов имеют «замкнутую» структуру. У инвесторов обычно есть принудительный период ожидания, прежде чем они смогут снять деньги. Таким образом, управляющий фондом может справиться с дисперсией, не полагаясь на психологическую поддержку устойчивость своих инвесторов.

Теперь пришло время ответить на наш главный вопрос.

Возьмем двух человек: богатого и бедного. Оба хотели бы инвестировать в фондовый рынок. Если вы еще не знали, фондовый рынок имеет долгосрочную положительную ожидаемую доходность.

Несмотря на положительное математическое ожидание, фондовый рынок также имеет значительную дисперсию. Когда фондовый рынок резко падает (что случается время от времени), риску подвергается весь собственный капитал бедняка. Она чувствует необходимость сохранить то немногое, что у нее осталось, от дальнейшего падения.

Богатый человек, с другой стороны, может время от времени оставлять свой капитал на низах, не испытывая проблем. Он не продает все во время резкого падения и в среднем выходит на первое место с положительной ожидаемой стоимостью в долгосрочной перспективе.

Когда дело доходит до отрицательных ожидаемых значений, психологическое поведение человека становится инверсным. В этом случае люди предпочитают большую дисперсию меньшей дисперсии. Допустим, кто-то выбирает между гарантированным проигрышем в 3 миллиона долларов и ставкой с 95-процентной вероятностью проигрыша в 3 миллиона долларов и 5-процентной вероятностью выигрыша в 50 долларов. Типичный человек, скорее всего, пойдет на ставку, а не на гарантированный проигрыш.

Верный проигрыш имеет нулевую дисперсию, в то время как ставка дает небольшой, но возможный шанс на выигрыш со значительно большей дисперсией .

Вот список всего, что мы только что рассмотрели в этом посте:

1. Модель ожидаемой ценности не принимает во внимание субъективный опыт.

2. Модель ожидаемой полезности такова: люди имеют разные ожидаемые полезности за одну и ту же сумму денег. Отношения также практически нелинейны и динамичны.

3. Бедные люди, скорее всего, пострадают от внутренних и внешних противоречий.

4. Богатые люди менее подвержены влиянию дисперсии.

5. Когда большие потери связаны с системными рисками, вмешивается правительство; этим пользуются крупные корпорации.

6. При положительных ожидаемых значениях люди склонны минимизировать дисперсию.

7. При отрицательных ожидаемых значениях люди склонны максимизировать дисперсию.

Итак, как мы можем извлечь выгоду из всей этой информации?

Я бы сказал, что мы могли бы стремиться немного лучше понять себя и принимать более разумные решения в жизни. Это помогает осознавать дисперсию.

Я знаю, что это не панацея от всех финансовых проблем. Но если бы это было так просто, все были бы богаты!

*Марк — вымышленный персонаж. Любые совпадения с реальными событиями случайны.

Статья от Джордана Элленберга