Меня тоже вообще смутил этот момент,

"Когда клиент обратился к нам, сайт работал нестабильно. На выходных, когда на сайт одновременно заходили больше 50 пользователей, он падал — и ничего нельзя было сделать, пока кто-то оставался на сайте"

"В моменте мы предложили клиенту повысить тариф серверной мощности, чтобы он выдерживал нагрузку. А сами занялись рефакторингом сайта — разбирались в коде и приводили его в порядок"

50 юзеров для сайта, каким бы он ни был, это не повод повышать серверные мощности (если, конечно, там не полядра ядра, полгига) и, почти всегда, даже не повод как-то переписывать сайт. Много лет, в числе прочего, занимаюсь оптимизацией высоко (и не очень) нагруженных проектов, интернет-магазинов, сайтов и тд, а точнее серверов на которых они работают и почти в 100% случаев все решается правкой конфигов mysql, nginx, apache, подключением серверного кеширования, настройками PHP и прочими "мелочами" на стороне сервака (т.к обычно покупается любой дефолтный VPS с дефолтными конфигами без какой-либо настройки под проект вообще). В целом, для спеца это даже не несколько дней работы, и, уж тем более, не повод покупать дополнительные серверные мощности. Исключение конечно составляет самопис безумного школьника, но в этом случае сайт не допиливается, а переделывается целиком с нуля, да и встречается почти никогда.

Если падает производительность, поможет простой советский с...

Железом вопрос не решить, потому что есть вещи которые если не переделать то они будут съедать мощности до самого отказа - пока есть что жрать (микросервисы, кроны и тд)