Теоретически, можно поставить штамп во внутреннем паспорте. Например, уговорить паспортистку сделать это в паспортном столе одного из регионов Армении, по типу Ширака или более отдаленных/провинциальных. Такая практика периодически срабатывает и некоторым отбитым людям ставят штампы о регистрации.

Но тогда паспорт перестанет действовать в российской юрисдикции. После этого можно будет находиться в Армении более 183 дней (де-юре, менты и ФМС тебя считают законно находящимся, так у них в голове это работает, ведь место жительства в Армении у тебя есть). По сути, человек остаётся без какого-либо серьезного документа на руках.

Самое простое решение, пока получаешь русский загранник в Армении - нарушить армянское миграционное законодательство. Заехать по внутреннему паспорту и сидеть, пока не сделаешь загран. Менты не проверяют на улицах документы и на таком нелегальном положении многие люди находятся в этой стране годы. Мой друг так жил около полутора лет в Армении. По выезду тебя оштрафуют на 50 тысяч драм и ты можешь ехать дальше, в другую страну.