Можно ли начать инвестировать с 1000-3000 рублей?

Можно, потому что на фондовом рынке есть активы, цены на которые составляют около 1 000 рублей, к примеру, облигации, есть даже биржевые фонды, которые стоят всего 5-7 рублей. Многие могут возразить, что вложение таких сумм ни к чему не приведет, не принесет прибыли. Несомненно, это не принесет миллионы, но это даст вновь приобретенные знания, опыт…

и где это у нас 15% годовых предлагают?

Доходность российского рынка на длительном промежутке в среднем 15%. Есть просадки в кризис более 50%, есть рост после кризиса более 100%. В среднем выходит 15%. Это статистика.
Если купить фонд российских акций и "забыть" про него на 20 лет, то будет именно такая доходность.