Интуиция учёного + сила ИИ = открытие

У вас как отношения с математикой? У меня сложные: люблю её, но не взаимно. Приходится немало тратить сил на разбор теорем и перепроверку собственных экспериментов. Но, может, ИИ сможет нам помочь?

В этом посте две части: первая – краткая выжимка без подробностей, вторая – глубокое погружение с блекджеком и теорией узлов. Можно читать их по отдельности, а можно выбрать только одну на своё усмотрение.

Шум был в 2021 году, но тема всё равно актуальная: ИИ помог учёным сделать математическое открытие. Речь идёт о теории узлов, которая вкратце вот про что:

· Математический узел – это замкнутая петля в трёхмерном пространстве;

· Узел можно растягивать и перекручивать, но некоторые его свойства при этом не изменятся – это инварианты;

· Алгебраические инварианты узла считаются по формулам, геометрические извлекаются из формы трёхмерного пространства вокруг узла.

Учёные подозревали, что между двумя типами инвариантов есть связь, но доказать её долго не удавалось, пока не применили ИИ. Вот как всё было:

· Собрали большую таблицу с разными узлами и их инвариантами обоих типов;

· Прогнали на этой таблице ИИ;

· ИИ выявил связь между одним алгебраическим и одним геометрическим инвариантом в огромном массиве данных;

· Математики к ней присмотрелись: оказалось, в самом деле есть связь, и её можно строго сформулировать и доказать;

· Ура, открытие!

«И что тут сверхъестественного?» – спросите вы. А я отвечу: «Это лабораторно идеальный пример того, как способности человека совмещаются со способностями ИИ, и из этого выходит реальная польза для науки». Как и должно быть.

Авторы статьи «Advancing mathematics by guiding human intuition with AI» («Развиваем математику, направляя интуицию человека с использованием ИИ») пишут: «Достижения в области машинного обучения уже помогают делать новые открытия в математике. Давайте этим пользоваться».

Математики целыми днями изучают данные, находят в них взаимосвязи и формулируют теоремы, если взаимосвязь удалось доказать. А что заточено чуть больше, чем полностью, под анализ данных и поиск взаимосвязей в них? Машинное обучение, правильно.

Опытный математик видит, что в его наборе данных может быть какая-то взаимосвязь, но физически не сможет её выявить, если объём данных очень большой, а взаимосвязь очень сложная. Или сможет, но потратит столько времени, что лучше не надо.

И здесь происходит, пожалуй, самое красивое и самое естественное слияние способностей человека и ИИ: человек подключает нестандартное мышление и интуицию, а ИИ предоставляет свою вычислительную мощь.

Отдельно эстетично то, что авторы решили проверить свои рассуждения на Теории узлов. Прекрасное объяснение этой теории я нашла здесь. Статью рекомендую к прочтению, а у себя приведу краткую выжимку:

· Под узлом понимается, собственно, узел в нашем бытовом понимании, только без свободных концов;

· Сложность узла определяется минимальным числом шагов, которые нужно предпринять, чтобы его распутать и получить окружность;

· Это число называется «числом развязывания»;

· Узлы можно объединить;

· Очень много лет математики пытались понять: если сложить два узла, число их развязываний будет равно сумме чисел развязываний каждого из них или нет;

· Через десять лет и несколько сгоревших компьютеров оказалось, что нет.

Это математический узел из Википедии

У узлов есть неизменяемые характеристики, которые называются «инварианты». Инварианты отличают один узел от другого. В принципе, можно доказать, что два узла неодинаковы, «в лоб»: перекручивать один узел до тех пор, пока не станет ясно, что второй из него никак не получается. Но это слишком долго и ненадёжно, поэтому и были сформулированы инварианты: свойства, которые остаются неизменными, как узел ни крути и ни растягивай.

Пример инварианта – возможность раскрасить узел тремя цветами так, чтобы на одном пересечении все нити были либо одного цвета, либо все разного. Вот, например, два узла: правый можно раскрасить в три цвета, следуя этому правилу, а левый – нет.

Это пример из видео, в котором автор очень подробно и с анимацией объясняет узлы и их свойства. Он также показывает, почему это свойство не меняется, если менять узел, и рассказывает про другие инварианты. Посмотрите, если хотите разобраться ещё глубже, а мы пока дальше пойдём.

Авторы делят инварианты узлов на алгебраические и геометрические. Алгебраические инварианты представлены в виде уравнений, а геометрические – в виде свойств окружающего узел пространства. И вот задача была показать, что между двумя группами инвариантов есть связь.

Тут надо в узел свернуть свой мозг, но мы справимся.

Значит, есть трёхмерное пространство, есть узел (тоже трёхмерный). Если вычтем узел из пространства, получится дополнение узла. Представьте себе, что вы взяли стеклянный куб, положили в него свёрнутый из проволоки узел и залили всё прозрачным желе. Когда желе застыло, вы каким-то хитрым образом извлекли узел, и осталось желе с замкнутым тоннелем в форме узла. Это дополнение, и геометрические свойства узла выводятся из него. Так что не всё просто со связью этих свойств, хотя интуитивно она может показаться более очевидной.

Чтобы было проще понять неочевидность, представим себе человека. У него есть «алгебраические инварианты»: уровень сахара в крови, уровень железа и всё такое. Мы не видим человека, но можем из пробирки извлечь некоторые его характеристики.

И есть «геометрические инварианты»: рост, объём легких, обхват талии и тому подобное. Мы можем интуитивно догадываться, что, например, обхват талии и уровень инсулина в крови могут быть как-то связаны, но это надо доказать.

Вот и с узлами то же самое: надо доказать.

И доказали ведь. Собрали огромную таблицу с разными инвариантами узлов: много узлов, для каждого много рассчитанных инвариантов. Прогнали на этой таблице многослойный перцептрон (рассказывала про него здесь), и он показал сильную взаимосвязь между одним алгебраическим и одним геометрическим инвариантом. Авторы присмотрелись к полученному с использованием нейросети уравнению, выделили наиболее важные компоненты и получили новую теорему, которая сделала пространство математических узлов немного более упорядоченным.

А зачем оно всё надо вообще, им там заняться нечем в лабораториях?

Если честно, то в какой-то момент шотландец Питер Гатри Тейт (Peter Guthrie Tait) просто подумал о том, что узлы – интересная штука. И понеслась: другие учёные вслед за ним часами корпели над формулами и жгли подержанные ноутбуки, потому что узлы оказали полны сложных головоломок, а учёным такое нравится.

Но к этим учёным потом приходят другие учёные и говорят: «О, вот как раз такую штуку нам и надо, давайте сюда». И теорию узлов используют в работе с ДНК, в химии при создании новых молекул, в шифровании и других областях.

Так что это полезное открытие, а ИИ оказался очень полезен в процессе его достижения.

---

Если вам такое интересно, заглядывайте в мой телеграм. Пишу там про ИИ, про людей и про людей с ИИ и всё, что происходит в таком взаимодействии.