Перформанс портфеля - несколько активов

В прошлой части мы обсуждали основные метрики для оценки перформанса инвестиционного инструмента. А что если мы хотим инвестировать в несколько инструментов сразу? Как будут выглядеть Ожидаемая Доходность и Стандартное Отклонение в таком случае (см. прошлую часть)? Как и ранее, допустим, все доходности даны за вычетом risk free rate.

Ожидаемая Доходность и Стандартное Отклонение у такого портфеля будут рассчитываться по формуле:

Здесь мы должны использовать меру линейной зависимости между активами — Корреляцию. Например, Corr = -0.5 означает, что, в среднем, если актив a растет на 1%, и в этот же момент актив b падает на -0.5%. Корреляция рассчитывается по такой формуле:

Теперь давайте внимательно посмотрим на форулы, которые мы вывели для портфеля из двух активов. Ожидаемая Доходность портфеля линейно зависит от доходностей активов внутри него: это просто взвешенное среднее доходностей двух активов.

С другой стороны, у Стандартного Отклонения все немного интереснее. Здесь на нас очень сильно влияет та самая Корреляция. Именно она диктует, будет ли у нашего портфеля наблюдаться эффект Диверсификации — снижение уровня риска (Стандартного Отклонения) за счет добавление нового актива. Например, если Corr = 1 (наши активы полностью линейно зависимы), то мы действительно не получим никакого эффекта диверсификации. Математически, можно показать, что при такой Корреляции, Стандартное Отклонение Портфеля будет линейно зависеть от Стандартных Отклонений активов, входящих в него.

С другой стороны, когда Corr < 1, мы сразу распознаем эффект Диверсификации, потому что общий риск портфеля из двух активов будет меньше, чем риск активов по-отдельности.

Если же Corr = -1, то Стандартное Отклонение портфеля может быть любым, и зависеть только от доли актива w. Например, в случае такой Корреляции и правильным выборе w, мы можем получить Стандартное Отклонение = 0. Можно показать, что для получения такого эффекта w должен быть:

Посчитав эти моменты портфеля для двух активов, рассчет Sharpe Ratio портфеля никак не меняется от рассчета Sharpe Ratio для актива. Таким образом, теперь мы можем оценивать перформанс портфеля из двух активов. В этом посте мы лишь немного затронули понятие Диверсификации. В дальнейшем мы будем рассматривать портфели, состоящие из больше двух активов, и увидим еще больше свойств этого эффекта.

P.S.Приглашаю заинтересованного читателя в свой телеграм канал (FinMathJournal), чтобы быть на связи!