Ян Дененберг

А существует ли пятый няшный палиндром?
Вот первые несколько десятичных палиндромов, каждый из которых получается конкатенацией двух квадратов натуральных чисел:
11, 44, 99, 161, 181, 464, 494, 949, 1001, 1441, 4004, 9009, 14441, 16361, 16561, 16961, 18281, 52925, 100001, 118811, 121121, 144441, ...
Среди них особый интерес представляет палиндром 1441…

Прикиньте, оказывается, число 12345677777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777 является простым! Там после 123456 стоят 62 семёрки.

Жизнь прекрасна!

Расставьте в клетки квадрата 4×4 различные целые положительные числа, не большие 32, так, чтобы в любой паре соседних по стороне клеток одно число делилось на другое.

В слове БАЛАЛАЙКА каждая буква обозначает ненулевую цифру. Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные буквы обозначают разные цифры. Произведение всех цифр, записанных в этом слове, делится на 243, но не делится на 729. Найдите наименьшую возможную сумму всех цифр этого слова.

Ключевуха, серия 2, 151-252, пятница, 03042026, 22:52:54.
Ключевые слова для поиска олимпиадных задач, серия 2.
[151 - 300]:
151] "на шахматной доске" "натуральное число"
152] "на шахматной доске" "докажите что"
153] "математический кружок" "три натуральных числа"
154] математическая олимпиада 1952
155] Математическая олимпиада в г. Львове в 1951/52 уч. г…

Важно учитывать различия между детьми, родившимися в Израиле, и теми, кто приехал в Израиль в подростковом возрасте. Приезд в новую страну в 14 лет — это совсем другая ситуация, нежели рождение и взросление в ивритоязычной среде. В таком возрасте выучить язык за короткий срок практически невозможно, а это означает, что школьные предметы будут трудн…

Назовём натуральное число хохотливым, если у него:

ровно 1 делитель с суммой цифр 1,

Двое по очереди снимают со стола фишки. За один раз разрешается снять со стола 1, 10 или 11 фишек. Выигрывает тот, кто снимет со стола последнюю фишку. Перед началом игры на столе было 40 фишек. Кто выиграет при правильной игре – начинающий игру или его партнёр?

Почему эту таблицу невозможно получить, даже если очень стараться⁠?

В клетках таблицы 3×3 стоят нули. Можно выбрать квадрат 2×2 и увеличить на единицу все стоящие в нем числа. Докажите, что за несколько таких операций не удастся получить таблицу, изображенную на рисунке:

В Пятерочке сода стоит на 10% дороже, чем в Магните, и на 20% дешевле, чем в Дикси. Сколько стоит сода в каждом магазине, если ее средняя арифметическая цена по этим магазинам составляет 27 рублей 80 копеек (Любые совпадения с реальными данными считать случайными)?

В некотором городе провели чемпионат по футболу.

По его итогам первое место заняла команда, набравшая 7 очков, второе место заняла команда с 5 очками, а третье место заняла команда с 3 очками.

Во ВКонтакте предложили такую задачу:
Пантелей придумал три таких натуральных числа, что сумма любых двух из них равна полному квадрату.
А Корней говорит, что такой тройки натуральных чисел не существует.
Кто из них прав, а кто ошибается?
Вот моё решение:
Таких троек бесконечно много. Более того, существует бесконечно много троек, в которых попарные сум…