Ян Дененберг

На доске выписали натуральные числа от 1 до 1 000 000. Затем каждое число заменили суммой его цифр. С каждым полученным числом сделали то же самое. И так до тех пор, пока на доске не останутся лишь однозначные числа. Каких чисел получится больше — единиц или двоек?

Задача, посвящённая Анне Асти!

а) Придумайте хотя бы один способ заменить буквы цифрами (разные буквы — разными цифрами, одинаковые — одинаковыми) так, чтобы (одновременно!) выполнялись равенства:

В записи девятизначного числа используются три нуля, две единицы и по одному разу 3, 4, 6, 7. Двигаясь слева направо, вместо каждой цифры этого числа записали количество цифр, которые меньше неё и расположены справа от неё. В результате получилось число 530420100. Найдите исходное число.

Настя написала на доске два двузначных числа, перемножила их и получила четырёхзначное число. После этого она заменила цифры на буквы, причём разным цифрам соответствуют разные буквы, а одинаковым цифрам — одинаковые. В итоге получилось
AB*CD=EEFF.
Докажите, что Настя ошиблась.

Натуральное число n назовём белоснежным, если n^2+n^3 является десятичным палиндромом. Существует ли хотя бы одно белоснежное число, помимо 1 и 6?

Два шекеля лежали возле бордюра как забытая примета — то ли удачи, то ли чьей-то неловкой спешки. Такие монетки обычно поднимают без мыслей, одним движением, даже не наклоняясь как следует. Но сегодня монетка оказалась умнее меня: легла в тень, прижалась к асфальту, будто знала, что поясница скрипит, возражает, подвывает.

Пришлось останавлива…

Составьте три обыкновенные дроби с однозначными числителями и двузначными знаменателями, используя каждую из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ровно один раз, так, чтобы сумма этих дробей была равна 1.

Сумму двух натуральных чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться 15015?

Пройдите лабиринт от серой до серой клетки. Шагать можно в соседнюю клетку, если число в ней на 1 больше или меньше. По диагонали шагать нельзя.

Если к факториалу числа 20 прибавить число 53, то получится простое число 2432902008176640053.

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, восстановите цифры a,b,c,d в записи сложения (см. катринку). Объясните, как вы нашли цифры a,b,c,d.

32323232323232323232323232323244444777777 простое число!