Судебная экспертиза назначается на основании определения суда, следователя-дознавателя или лица, наделённого правом назначения судебной экспертизы в соответствии с законом. Следовательно, эксперт несёт ответственность по 307 УК РФ за дачу заведомо ложного заключения, и в некоторых случаях по 310 УК РФ за разглашение сведений, ставших ему известными при производстве исследований. Судебная экспертиза назначается для тех целей, чтобы это могло быть наиболее весомым доказательством, хотя по закону, заключение судебного эксперта рассматривается наравне с другими доказательствами по делу и какой-то предустановленной силы над ними не имеет. На практике же, решение судов выносится с учётом выводов судебной экспертизы. Плательщиком может являться истец или ответчик.
Что касается досудебной - заказчиком экспертизы является должностное лицо (физ.лицо или юр.лицо). В данном случае эксперт не несёт никакой ответственности по 307 УК РФ, кроме ответственности перед СРО. Это немножко отдельная тема - зачем нужна СРО, какую ответственность несёт и где необходима. Досудебная экспертиза может быть использована наравне с любыми другими доказательствами по делу, но так как эксперт не назначен судом и не несёт ответственность по 307 УК РФ, на практике это весомым доказательством не является.
Если коротко, то досудебная экспертиза проводится на этапе, когда ещё нет судебного процесса, и нужно подтвердить то или иное обстоятельство.
Судебная экспертиза назначается судом тогда, когда спор уже идёт, и без заключения эксперта прийти к конкретному выводу невозможно.