Да, это разные процедуры. Заверение переписки у нотариуса – привычная, но устарелая услуга. Если в ходе судебного разбирательства ответчик начнет отрицать, что это он участвовал в переписке, которая заверена нотариусом, суд назначит экспертизу. Если же ее предоставить сразу, противная сторона, соответственно, не сможет ничего возразить. Это и сэкономит время, и склонит судью в вашу сторону.