Нужно ли иметь кассовый аппарат и выбивать чеки, если физлица платят вам на расчётный счёт через платежные системы?

Да, обязаны! Аж с 2019 года как.

Если Вам приходит платеж от физлица, вам необходимо выбить чек в течение суток после получения этого платежа. Исключение составляет перевод денег от ИП и других юрлиц напрямую на р/с - там чек не выбивается.

Другими словами, Ваш ученик после оплаты на свою почту должен получить чек от платёжной системы и следом электронный чек от вашей компании.

Если Вы пользуетесь эквайрингом - то сразу же выбиваете кассовый чек вместе с тем, что из эквайринга выходит о списании.

В случае поступления средств материнского капитала - чек также бьется, так как это деньги физлица