Начиная с 2009 года, розыгрыш Кубка России среди женских команд посвящен памяти Гиви Ахвледиани (1918-2003), знаменитого советского и российского тренера-универсала. Он привел женскую сборную СССР к «золоту» Олимпийских Игр 1968, 1972, званиям чемпиона мира 1970, обладателя Кубка мира 1973 и чемпиона Европы 1967, 1971, 1975. Под началом Ахвледиани мужская сборная страны выигрывала чемпионаты мира 1960, 1962.