Какие есть системы, которые ближе всего к подобному бизнес-процессу?Любая CRM у которой есть модули для работы с товарами, задачами и бизнес-процессами.
Опишите роли, опишите сам процесс. Создайте бизнес-процесс, который будет ставить задачи, контролировать их выполнение, отправлять уведомления и так далее.
АмоCRM, Битрикс24, Salesforce и так далее. Почти все подойдут.
Главное правильно описать процесс и правильно использовать инструменты этих систем. Конечно, придётся немного доработать, но если правильно всё спроектировать на старте, проблем в развитии не будет.

Хотим систему с нуля разработать, с приложениями, но чует сердцеПравильно чует :), это дорого и долго. Но опять же, не известно, какая у Вас компания и какие суммы компания готова инвестировать в проект. Но у Вас достаточно простой процесс, поэтому смысла нет в кастомной разработке.