Четыре игры для развития математического мышления, в которые можно играть где угодно

«Простые, но требующие сообразительности» игры собрал математик Бен Орлин. Его книга «Математические игры с дурацкими рисунками» выйдет в издательстве «Альпина нон-фикшн» в ноябре.

От автора: «Ваша способность к математическому мышлению — дар такого масштаба, что ему нет аналогов в животном мире. Пожалуйста, не оставляйте этот подарок эволюции нераспакованным. Достаньте его. Поиграйте с ним. Или по крайней мере уподобьтесь кошке и поиграйте с обёрточной бумагой. <...>

Эти игры многогранны, ибо многогранна математика. Они несерьезны, ибо несерьёзна математика. И они общедоступны, ибо математика общедоступна, что бы там ни говорили устрашающие формулы и язвительные профи».

Сколько игроков: двое.

Что потребуется: два карандаша разных цветов и поле с рядами точек (если под рукой нет бумаги и карандашей, можно порисовать на планшете — vc.ru). Рекомендую поле шесть на шесть точек, но подойдёт любое прямоугольное.

В чём цель: начертить больше квадратов, чем противник.

Какие правила

1. Поочередно соединяйте соседние точки вертикальными или горизонтальными линиями.

2. Тот, кто дочертит квадрат, набирает одно очко, помечает этот квадрат (например, своими инициалами) и делает следующий ход.

Это правило позволяет вам дочертить целую вереницу квадратов, прежде чем противник дождется своего хода.

3. Играйте, пока не соедините все точки. Кто наберет больше очков, тот и победил.

Заметки «дегустатора»

Впервые я сыграл в эту игру в детстве, в подвале с полками, набитыми видеокассетами, под аккомпанемент тяжелой поступи динозавров. Нам с братьями не хватало стратегического мышления: в основном мы действовали наобум, стараясь просто не рисовать третью сторону квадратов (чтобы противник не нарисовал четвертую) и волей- неволей рассредоточивали свои линии.

Рано или поздно безопасных ходов не оставалось. Тогда-то и наступала самая напряженная стадия игры.

Теперь жертвы становились неизбежными, хотя и не все были равноценными. Некоторые ходы позволяли противнику набрать лишь одно или два очка, а другие — заполонить своими квадратами практически всё поле. Я всегда старался жертвовать самыми маленькими областями, надеясь отвоевать те, что покрупнее.

Годы спустя, работая над этой книгой, я освоил стратегию, незамысловатую, но позволяющую обыгрывать 99% новичков: двойной крест. Идея в том, что вы ломаете противнику кайф, когда он нацелился сделать триумфальный ход.

Просто сократите свой ход, не начертив предпоследнюю линию. Рисуя одну линию, вы жертвуете двумя квадратами, которые получит ваш противник (поэтому крест двойной). В обмен вы завладеете всей областью, на которую положил глаз оппонент.

Сколько игроков: двое.

Что потребуется: два карандаша разных цветов и игровое поле шесть на шесть клеточек.

Если хотите, чтобы игра длилась дольше, попробуйте сделать поле восемь на восемь клеток или семь на семь с заштрихованной клеточкой в центре (на поле с нечетным количеством клеток первый игрок получает значительное преимущество, захватывая центральную клеточку, поэтому мы закрашиваем её, чтобы игра была честной).

Вначале каждый игрок записывает числа 1, 2, 3 по диагонали, как показано на рисунке.

В чём цель: добраться до большего числа, чем ваш противник.

Какие правила

1. Выберите одно из своих чисел и поставьте следующее в соседнюю клеточку (по вертикали, горизонтали или диагонали).

2. Можно выбрать любое число, если место позволяет. Кроме того, можно пересекать цепочку чисел по диагонали.

3. Играйте до заполнения поля, даже если у одного из игроков нет возможности сделать ход.

4. Побеждает тот, кто запишет наибольшее число.

Заметки «дегустатора»

Я обожаю эту игру, так что позвольте мне выйти за рамки вежливости и спутать ваши карты. Как и во многих чисто стратегических играх, в «Числовых цепочках» у первого игрока есть преимущество. Это не фатально: в конце концов, многим нравятся шахматы, хотя белые выигрывают в 55% партий.

Однако в отличие от шахмат, здесь у второго игрока есть убийственная стратегия: просто копировать ходы противника. Симметричная игра гарантирует ничью. Чтобы обойти эту уловку, советую немного поменять правила. Первый игрок делает первый ход как обычно. Затем, начиная с первого хода второго игрока, каждый записывает два числа за ход.

Сколько игроков: от четырёх до восьми (хотя можно играть и втроём).

Что потребуется: карандаши, бумага и доступ к интернету (по крайней мере, на несколько минут вначале). До начала викторины у каждого есть пять минут, чтобы придумать несколько вопросов. Ответы должны удовлетворять двум условиям: их легко найти в интернете — и это числа.

В чём цель: каждый ответ — число. Вы должны указать как можно более узкий диапазон возможных значений, включающий верный ответ.

Какие правила

1. Один из игроков — судья в текущем раунде — задаёт вопрос. Остальные игроки молча записывают свои версии ответа.

2. Когда все готовы, игроки по очереди называют свои ответы. Цель состоит в том, чтобы диапазон был как можно уже и включал верное значение.

3. Судья называет правильный ответ. Все, кто промахнулся, получают ноль очков — независимо от того, насколько близки они к истине. Судья получает по одному очку за каждый неправильный ответ.

4. Рассортируйте ответы игроков, которые ответили верно, по длине диапазона: от самого узкого (то есть наиболее впечатляющей догадки) до самого широкого (наименее впечатляющей).

5. Эти игроки получают столько очков, сколько противников они обыграли (в том числе тех, кто ответил неправильно).

6. Сыграйте несколько раундов так, чтобы каждый игрок одинаковое количество раз был судьей. В конце побеждает тот, кто набрал больше очков.

Заметки «дегустатора»

Когда вы в первый раз формулируете ответ, кажется, что всё прекрасно.

Но вскоре вы удивитесь тому, насколько часто промахиваетесь.

В результате появляется интерес к «расширению диапазона». Это позволяет чаще побеждать тех, кто ответил неправильно, и просто набирать очки за счёт того, что вы признаёте своё невежество.

Но если все называют широкий диапазон, есть смысл сузить свой ответ. В мире, где все называют интервал от нуля до миллиона, тот, кто скромно остановился на диапазоне от пяти до 500, — царь горы.

Чтобы понять эту механику, рассмотрим нехитрый вопрос для двух игроков. Мы бросаем десятигранную кость. Какое число выпадет? Если я называю широкий диапазон, скажем от одного до восьми, вам лучше подрезать меня, выбрав диапазон от одного до семи.

Если выпадет число от одного до семи, вы выиграете из-за более узкого диапазона. Если выпадет девять или десять, не выиграет никто. Вы проиграете лишь в том случае, если выпадет восемь.

Что, если я назову более узкий диапазон, скажем от одного до трёх? В таком случае вам лучше выбрать как можно более широкий диапазон: от одного до десяти. Вы проиграете, если выпадет один-три, но выиграете, если выпадет четыре-десять. Такая игра стоит свеч (это лучше, чем подсечка с вариантом от одного до двух).

Короче говоря: если я выбираю широкий диапазон, вам нужно выбрать диапазон поуже, а если я выбираю узкий диапазон, вам нужно выбрать диапазон пошире.

Именно по этой причине я свалял бы дурака, сказав, какой диапазон выбираю. Вместо этого я буду давать случайные ответы. С вашей стороны разумно поступить так же. С помощью теории игр мы можем рассчитать оптимальные вероятности:

Странно, правда? На самом деле ваша лучшая стратегия зависит от вопроса, набранных очков, ваших знаний и количества игроков (чем их больше, тем шире должен быть ваш диапазон). Но, надеюсь, вы получили представление о тайных пружинах в этой игре.

Сколько игроков: от двух до восьми (оптимально — от четырёх до шести).

Что потребуется: потратить несколько минут, чтобы выбрать пять первых попавшихся вещей для продажи на аукционе.

Каждому игроку нужны также шесть карточек с номерами от одного до шести. (Подойдут небольшие клочки бумаги.) Карточки предназначены не для ставок, они используются для определения тайной «истинной стоимости» вещей.

На отдельном листе начертите таблицу для отслеживания счёта каждого игрока и использованных карточек.

В чём цель: выигрывайте вещи на аукционе, но не переплачивайте за них.

Какие правила

1. В каждом раунде один из игроков (аукционист) выбирает какую-нибудь вещь и произносит небольшую речь о том, насколько она драгоценна.

2. Теперь настало время определить истинную стоимость лота. Для этого каждый игрок (включая аукциониста) тайно выбирает число от одного до шести. Сумма этих значений (до поры до времени никому не известная) и есть истинная стоимость лота.

3. Дальше начинаются торги. Каждый игрок надеется купить лот дешевле, чем он стоит на самом деле. Торги начинает игрок, сидящий слева от аукциониста. Он называет цену, которую готов заплатить.

4. Ставки предлагают по очереди по часовой стрелке. Каждый игрок либо повышает ставку, либо выходит из аукциона и называет выбранное им число. Таким образом, по мере выбывания игроков накапливается информация об истинной стоимости лота.

5. Когда выбывают все, кроме одного, оставшийся игрок автоматически выигрывает аукцион и платит последнюю названную им цену. Когда он называет своё число, истинная стоимость лота становится известна всем.

6. Вычтите уплаченную цену из истинной стоимости лота (число может быть отрицательным). Это и будет количество очков, набранное «победителем» в раунде. Кроме того, игроки не могут дважды за игру выбирать одно и то же число. Карточки с использованными номерами нужно перевернуть (или выбросить), а соответствующие числа в таблице — вычеркнуть.

7. Сыграйте пять раундов, каждый раз меняя аукциониста (можно сыграть и больше. Нужно, чтобы во время последнего раунда у каждого игрока оставалось две карточки, поэтому, когда карточек n + 1, сыграйте n раундов). Ничего страшного, если кто-то выступит в этой роли чаще остальных. Выигрывает тот, кто набрал больше всего очков.

Заметки «дегустатора»

Больше всего в этой игре я люблю речи аукционистов. Сломанный карандаш растрогал меня до слез, а крекер с арахисовым маслом довёл до экстаза. Кажется, все становятся поэтами, когда их просят пропеть панегирик купону на скидку в 20% в супермаркете. Но когда речи отзвучат, начинается стратегия.

Можно выделить два основных подхода:

Однако по мере развития игры и поступления новой информации придётся оперативно вносить коррективы. Скажем, раунд начинается так:

Мы сразу можем подсчитать, что следующий лот будет стоить не менее 8 (2 + 1 + 3 + 2) и не более 23 (6 + 5 + 6 + 6). Выбрав свою карточку (скажем, 5), вы обновляете этот диапазон. Теперь лот может стоить не менее 11 (5 + 1 + 3 + 2) и не более 22 (5 + 5 + + 6 + 6).

Каждый игрок делает аналогичные подсчёты. Так, когда А начинает торги, называя цену 12, вы можете предположить, что он выбрал число 5 (тогда минимальная возможная цена 12), а не, скажем, 1 (тогда минимальная цена 8). Или А блефует? Кто знает.

Как бы то ни было, допустим, Б повышает ставку до 13, а В пасует и открывает карточку с числом 2.

Итак, что вы будете делать дальше?

Допустим, вы выбрали вариант №1 — повысить ставку. Непринужденно улыбаясь в духе Джеймса Бонда, вы повышаете ставку до 14. Кажется, это разумно. Кажется, это правильно. Вы уверены, что игрок А разыграл карточку с бóльшим числом, поэтому истинная стоимость должна быть...

О нет! Игрок А выбывает и показывает свою карточку. Там 1! Дальше выбывает игрок Б. Он загадал 4. Таким образом, вы выигрываете аукцион. Только что вы заплатили $14 за предмет стоимостью $12. Бонд, похоже, миссия провалена.

Теперь допустим, вы выбрали вариант №2 — выйти из аукциона. Украдкой оглядев противников, вы бормочете: «Я пас», и показываете свою карточку с числом 5. Вы чувствуете себя робким, пристыженным юнцом. Успокойтесь: ведь это всего лишь игра. Как бы то ни было, вы чувствуете облегчение, когда игрок А выбывает, показывая 1. Игрок Б выигрывает, уплачивая $13, и со стоном переворачивает свою карточку с числом 4.

Таким образом, общая стоимость предмета $12. Выигрышная ставка была на доллар больше. Хорошо, что вы вовремя свинтили.

#математика #логика #игры