Доходность к погашению: как из цены облигации получить процентную ставку

В прошлой части мы начали обсуждать облигации и пришли к простой идее: облигация — это набор будущих денежных потоков. Если мы знаем, какие купоны получит инвестор и какой номинал будет выплачен в конце, то цена облигации может быть представлена как сумма сегодняшних стоимостей всех этих платежей.

Иными словами, мы берем будущие cash flows, дисконтируем их к сегодняшнему дню и складываем. Но в прошлый раз мы немного схитрили: мы сказали, что будущие платежи нужно дисконтировать, но не обсудили, какую именно ставку использовать. Сегодня как раз посмотрим на один из самых популярных способов отвечать на этот вопрос — Yield to Maturity, или Доходность к погашению.

Допустим, у нас есть облигация с номиналом 100. Она платит купоны, а в конце возвращает инвестору номинал. Если мы знаем ставку дисконтирования, то можем посчитать цену облигации:

Теперь давайте посмотрим на эту же формулу с другой стороны. На рынке мы обычно видим не “правильную ставку дисконтирования”, а цену облигации. Например, облигация торгуется по 97, хотя в конце обещает вернуть 100 и до этого еще платит купоны. Тогда можно задать обратный вопрос: какая ставка y должна стоять в формуле, чтобы сумма дисконтированных платежей была равна 97?

Эта ставка и называется Yield to Maturity.

То есть YTM — это такая ставка, которая “объясняет” текущую цену облигации через ее будущие платежи. Если совсем коротко, YTM — это внутренняя ставка доходности облигации при условии, что мы покупаем ее по текущей цене и держим до погашения.

Для облигации без купонов все считается достаточно просто. Если zero-coupon bond стоит P, не платит промежуточных купонов и возвращает 100 через n лет, то:

Отсюда:

Например, если облигация стоит 95 и погашается через год, то ее доходность к погашению будет:

Но с купонной облигацией все сложнее, потому что у нее много платежей. Если облигация платит купон C каждый год и в конце возвращает номинал 100, то уравнение выглядит так:

Здесь YTM сидит сразу в нескольких частях уравнения, поэтому обычно его находят численно: через Excel, финансовый калькулятор, Python или любой другой инструмент, который умеет решать нелинейные уравнения. По смыслу мы просто подбираем такую ставку, при которой present value будущих cash flows совпадает с текущей ценой облигации.

Если купоны платятся не раз в год, а, например, два раза в год, формула немного меняется. Допустим, выплаты идут m раз в год. Тогда annual YTM раскладывается по купонным периодам:

Теперь важный момент: YTM часто воспринимают как “доходность облигации”, но это не всегда буквально так. YTM действительно будет нашей доходностью, если выполнены несколько условий: мы покупаем облигацию по текущей цене, держим ее до погашения, эмитент выплачивает все купоны и номинал, а полученные купоны мы реинвестируем примерно под тот же самый YTM.

Последнее условие особенно важно для купонных облигаций, потому что часть нашего результата приходит не только от финального возврата номинала, но и от промежуточных купонов. Если купоны придется реинвестировать под другую ставку, или если мы продадим облигацию до погашения, фактическая realized return может отличаться от изначального YTM.

Поэтому YTM — это не гарантия будущей доходности, а удобный способ закодировать цену облигации в одну процентную ставку. Вместо того чтобы каждый раз обсуждать весь набор cash flows и текущую цену, рынок часто говорит: “эта облигация торгуется с доходностью X%”. За этим X% стоит именно ставка, которая делает present value будущих платежей равной текущей цене.

Но здесь появляется еще один технический вопрос. Мы уже несколько раз написали в формуле цену облигации как P. Однако в облигациях слово “цена” требует аккуратности. Если облигация покупается ровно в дату выплаты купона, все относительно просто. Но если сделка происходит между купонными датами, часть следующего купона уже успела накопиться.

Допустим, облигация платит купон раз в полгода. Продавец держал ее три месяца после последней купонной выплаты, а потом продал покупателю. Формально следующий купон получит уже покупатель, потому что он будет владельцем облигации на дату выплаты. Но экономически часть этого купона была “заработана” продавцом, потому что он держал облигацию часть купонного периода.

Эта накопленная часть называется Accrued Interest, или накопленный купонный доход.

Например, если купон за период равен 4 доллара, а с прошлой купонной даты прошла половина периода, то accrued interest будет примерно 2 доллара. Это компенсация продавцу за то, что он держал облигацию часть купонного периода.

Из-за этого у облигации есть две цены:

Dirty Price — это фактическая цена сделки, то есть сколько покупатель реально платит продавцу. Clean Price — это цена без накопленного купонного дохода. Обычно в котировках показывают именно clean price, потому что она лучше отражает рыночное изменение стоимости облигации, а не механическое накопление купона между выплатами.

Почему это важно для нашего разговора про YTM? Потому что, когда мы пишем уравнение

нам нужно понимать, что именно стоит на месте P. Экономически будущие cash flows должны быть связаны с полной ценой сделки, то есть с dirty price. Но на практике инвестор часто видит clean price как рыночную котировку, а accrued interest добавляется отдельно.

Иными словами, clean/dirty price — это не отдельная философия, а уточнение к вопросу: какую цену мы используем, когда считаем YTM. Идея YTM от этого не меняется: мы все равно ищем ставку, которая связывает текущую цену облигации с ее будущими платежами. Просто в реальной рыночной котировке нужно помнить, что quoted price и actual transaction price могут отличаться на величину accrued interest.

Главная идея этой части такая: YTM — это ставка, которая связывает текущую цену облигации с ее будущими платежами. Она удобна, потому что позволяет превратить сложный набор cash flows в одно число. Но YTM становится фактической доходностью инвестора только при достаточно сильных предположениях: покупаем сегодня, держим до погашения, получаем все платежи и реинвестируем купоны под сопоставимую ставку.

Пока мы использовали одну ставку для всех будущих платежей конкретной облигации. Это удобно, но в реальности платеж через 6 месяцев и платеж через 10 лет — это разные вещи. Поэтому вместо одной ставки для всей облигации часто используют целую кривую ставок. В следующей части как раз поговорим про Spot Curve и Discount Curve.