Роль образного мышления в научном мышлении

Свидетельства о решающей роли образов в творческой деятельности самого различного характера широко известны. Наиболее ярко об этом рассказывает Моцарт: «Произведение растет, я слышу его все более и более отчетливо, и сочинение завершается в моей голове, каким бы оно не было длинным. Затем я его охватываю единым взором как хорошую картину». В области математики, считающейся сухой и слишком формальной наукой, образы играют ничуть не меньшую роль. Теория Галуа требовала использования ряда принципов, которые были открыты только через четверть века. Сам Галуа тем не менее составил о них представление, но оно несомненно было хотя бы частично неосознанным, т.е. имело форму образа, а не понятия.

Можно утверждать, что образы должны целенаправленно использоваться в обучении (разумеется, их нельзя устранить даже при самом схоластическом подходе, но в этом случае использование образа становится тайной учащегося, а удача при обучении – делом случая). Отказавшись от использования образов, отказываются от «переживания жизненных смыслов».

Восточный подход к знанию выражен в древнекитайской книге «Чжуан-цзы»: «Слова нужны – чтобы поймать мысль: когда мысль поймана, про слова забывают». Европейская культура, наоборот, ориентирована на теоретические формы знания, неотделимые от разнообразных знаковых систем, существующих в форме естественных и искусственных языков.

Язык является основным средством общения и получает известную самостоятельность в культуре, определяя специфику сознания и человеческой психики вообще. В ходе языковой деятельности развилась логика, – «наука об общезначимых формах и средствах мысли, необходимых для рационального познания любой области знания». Вхождение в новое знание стало процессом освоения теории, т.е. формы знания представленной средствами языка и организованной по законам логики.

Переживание предмета, образ, в теории заменяются понятием, в котором обобщаются свойства и признаки целого ряда предметов и явлений, существенные с точки зрения данной теории.

Теория может быть зафиксирована вне сознания человека с помощью знаковых средств языка. Тем самым она, как бы отчуждается от психики, предстает чем-то внешним по отношению к личности.

На самом же деле человек, владеющий теоретической моделью явления, обладает и высокой степенью организации образов, относящихся к этому явлению. Он получает в свои руки возможность предвидеть события, поскольку понимает их взаимосвязь. Теоретическая модель обладает логической ясностью и структурирует хаотическое и стихийное существование образов в психике.

В связи с этим понятна тенденция строить обучение в форме освоения теории без оглядки на образы, стоящие за понятиями теории. Обычно в таких случаях к ним обращаются достаточно случайно. Либо, когда существует традиция в каком-то месте курса опираться на образное мышление, или, когда личные пристрастия преподавателя побуждают его к этому.

В то же время ряд аргументов убеждает, что образ должен стать осознанным и необходимым элементом обучения. Прежде всего, устраняя образы, как правило, изгоняют содержание обучения. Учащийся долго осваивает непонятные (т.е. не включенные в его личный образ мира) преобразования, правила и т.д. Только прорвавшись через них, он может, наконец, увидеть то целое, к которому так долго шел.

В результате, устранив содержательную основу процесса обучения, одновременно устраняют ориентиры, по которым учащийся может строить свои действия при решении задач. Простейшая, с формальной точки зрения, задача становится неразрешимой, поскольку учащийся не знает в каком направлении ему двигаться. Часто учащийся просто пытается догадаться, чего от него хотят учителя, и действует в соответствии с догадкой.

Кроме того, устранение образов-переживаний в значительной степени снижает интерес к предмету. При этом приходится ориентироваться на внешние стимулы, понуждающие к обучению. То же самое можно сказать и по поводу фантазии и творчества. Вне рамок образного мышления они крайне затруднены, если вообще возможны.

Иногда выдвигаются возражения против систематического использования образов в обучении. Одно из них, состоящее в том, что использование образов приводит к переходу с теоретического уровня на эмпирический, мы рассмотрим ниже. Однако, даже признав необходимость использования образов, не так просто осуществить их практическое внедрение в курс.

Дело в том, что трудно найти способ, позволяющий сделать образ по-настоящему действенным инструментом обучения. Значительно чаще образ используется как пассивное «наглядное пособие», которое поясняет понятие, но не включается в активную психическую структуру, заставляющую это понятие работать.

Математика возникла в незапамятные времена из практических нужд. По известному определению математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Соединение в единый блок количества и формы может вызвать недоумение у человека далекого от математики. Но их слияние в общий предмет для изучения с одной стороны произошло из-за необходимости измерения таких характеристик реальных объектов, как длина, площадь и объем. С другой же стороны любые количества размещены в пространстве, а, значит, причастны и форме.

Так или иначе, единая математическая наука имеет две стороны, которые условно можно назвать алгебраической и геометрической точками зрения. В древнегреческой математике в целом доминировал геометрический подход. Именно в его рамках были выработаны методы доказательства. При этом первые доказательства, восходящие к Фалесу и Пифагору, можно реконструировать именно как манипулирование пространственными образами. Например, можно интерпретировать доказательство теоремы о равнобедренном треугольнике как наложение перевернутого треугольника на свой отпечаток.

Предпочтение, которое греки отдавали геометрической точке зрения, в итоге привело к возникновению геометрической алгебры. Сложение и вычитание связывали не с абстрактными количествами, а с длинами отрезков. Умножение же истолковывалось как получение площади прямоугольника. Несомненно, что такой подход сдерживал развитие алгебры как науки. Однако в простых ситуациях геометрические образы позволяли хорошо усвоить и понять смысл таких, например, формул как формула квадрата суммы. Об этом через два тысячелетия после греков рассказывает в своей «Исповеди» Руссо.

Однако вычисления неизбежно пробивали себе дорогу. Решение в радикалах итальянскими математиками уравнений третьей и четвертой степени привели к бурному росту алгебраической тематики. При этом феномен вычислений проявился и в том, что некоторые алгебраические объекты возникли против желания математиков. Речь, прежде всего, идет о комплексных числах. Таким образом, нельзя отрицать объективной необходимости усиления алгебраической точки зрения. А со времен Декарта вычисления вышли на первое место и в геометрии.

Тем не менее, даже в девятнадцатом веке существовала традиция называть математиков геометрами. При этом в рамках самой геометрии произошел определенный раскол, связанный с выбором методов исследования. Ряд ученых ориентировались на античные идеалы и развивали так называемую синтетическую геометрию, избегающую вычислений.

Однако девятнадцатый век полностью перевернул математику. Синтетическая геометрия стала лишь небольшим фрагментом в лавине великих открытий. Фактически в этом веке были созданы новая алгебра, неевклидова геометрия, математическая логика, теория множеств, топология. Математическое знание предстало как нечто абсолютно новое. В частности, нарушилась убежденность ученых в том, что математика изучает структуры, неразрывно связанные с реальностью. На первое место стали выходить логические аспекты математической теории.

При этом возникла иллюзия, что содержание математики может быть сведено к логике. В дальнейшем это не подтвердилось, но математическое сообщество раскололось, условно говоря, на «интуитивистов» и «логицистов». Это разделение в общем и целом сохранилось до нашего времени, конечно, приобретя новые черты, но полемика между Анри Пуанкаре и Луи Кутюра, состоявшаяся более ста лет назад, хорошо передает суть проблемы.

Дело в том, что математическая логика разработала аппарат, который, хотя бы отчасти, заменяет размышления логическими вычислениями. Именно об этом говорит Пуанкаре. Кутюра, возражая ему, так формулирует аргументы противника: «Пуанкаре составил себе совершенно ошибочное представление о логистике, рассматривая ее, как какой-то механизм, откуда совершенно изгнано употребление разума». Далее Кутюра отчасти иронизирует над тем, что Пуанкаре «противопоставляет логическому и доказывающему разуму надежный инстинкт изобретателя и более глубокую геометрию».

Есть правда и в доводах Пуанкаре, и в доводах Кутюра. Но время показало, алгебраическая линия, к которой следует отнести и логические вычисления, довлеет над современной математикой. В этом можно видеть проявление того процесса, который Герман Вейль описал как борьбу демона алгебры с ангелом геометрии.

Почему речь идет о демоне и ангеле? Дело в том, что вычисления позволяют достигать результатов без проникновения в глубокую геометрию, обеспечивающую понимание. Можно, конечно сказать, что эта борьба – внутреннее дело математиков, их профессиональное проклятие. Но дело в том, что эта борьба выходит за узкопрофессиональные рамки. Естественно, что профессионалы-математики влияют на образование в целом и на его математическую составляющую в особенности. При этом очень часто это влияние можно оценить в высшей степени негативно. Вторая половина двадцатого века показала насколько разрушительно изгнание образного мышления.

Математика является одним из важнейших феноменов общечеловеческой культуры. Ни для кого не секрет, что «Начала» Евклида столетиями были второй по важности книгой европейской культуры после Библии. Любая сколько-нибудь развитая цивилизация рассматривала математику как обязательный для изучения предмет, начиная с начальной школы.

Математика до сих пор остается обязательным предметом, но вопрос в том, как ее преподают. Как минимум полвека ломаются мечи в битве за реформирование школьного курса математики. Результаты плачевны. Особую роль в разрушении традиционного математического образования сыграла группа французских математиков, писавших необозримые трактаты под псевдонимом «Никола Бурбаки». С их точки зрения они наводили в математике порядок, чистили авгиевы конюшни. Именно их трактаты якобы дали уверенность в непротиворечивости современной математической теории. С этим можно поспорить, поскольку творческие математики живут в своем ареале понятий, чувствуют их жизнеспособность, и не будут тратить годы на разбор формализованных теорий.

Однако значительно важней тот факт, что Бурбаки активно повлияли на изменение содержания математического образования во всех звеньях от начальной до высшей школы. На удивление охотно на их идеи отозвались в ведущих странах, лидирующих в сфере математики, в том числе и в СССР. Результатом стало повсеместное внедрение теории множеств, начиная с первого класса, и безудержная формализация математических учебников.

Ж. Дьедонне, один из заметных математиков из группы «Бурбаки» весьма откровенно высказывал свои взгляды в предисловии к книге. Прежде всего, Дьедонне призывает изгнать из школьного курса задачи на построение, вопросы, связанные с изучением свойств геометрических фигур и тригонометрию. Причиной этого является появление «королевского пути». Дьедонне пишет: «Отправляясь от очень простых аксиом – в отличие от сложных аксиом Евклида – Гильберта, – можно при помощи тривиальных вычислений непосредственно и в несколько строчек получить все то, для чего раньше нужно было возводить леса искусственных и сложных систем треугольников, чтобы во чтобы то ни стало свести задачу к священным случаям «равенства» или «подобия» треугольников – к единственной основе всей традиционной техники Евклида».

Из этого следует, что ученый ставит прагматические цели выше целей воспитания и развития личности. Он, впрочем, об этом и понятия не имеет. Евклидова математика – это неэффективная техника. Ее должны заменить тривиальные вычисления. О понимании нет и речи.

Далее Дьедонне перечисляет ряд «псевдонаук», в том числе аналитическую геометрию, проективную геометрию, неевклидову геометрию и теорию комплексных чисел. Если добавить к этому утверждение о необязательности чертежей, то можно сказать, что из математического образования изгоняются образы. Наращиванию «чувственной ткани» противопоставляются логико-алгебраические вычислительные навыки. И хотя книга Дьедонне написана давно, влияние ее создателя и его соратников только возрастает.

Несомненно, многие математики и педагоги сознательно используют образное мышление для обучения математике. Прекрасным примером является обширная научно-популярная литература, издаваемая, как в СССР, так и в современной России. Авторы данной статьи тоже размышляют над подобными вопросами. Далее формулируется ряд положений и идей, которыми они руководствуются:

Опора на образное мышление – это попытка превратить математику в сферу гуманитарных интересов. В этой связи закончим статью цитатой из предисловия к первому тому Леонарда Эйлера: Введение в анализ бесконечных. Шпайзера А.: «...немало протечет воды в Рейне, пока школа, наконец, обнаружит, что математика может быть гуманитарной наукой, и что ученики могут также хорошо понимать Эйлера, как Платона и Гете».

Авторы: Куланин Евгений Дмитриевич, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики, Московский государственный психолого-педагогический университет (ФГБОУ ВО МГППУ)

Степанов Михаил Евграфович, кандидат педагогических наук, доцент кафедры прикладной математики, Московский государственный психолого-педагогический университет (ФГБОУ ВО МГППУ)