На самом деле вопрос сводится к тому, оказывает Яндекс транспортные услуги или нет. Если да - то обязан возить собаку и обязан доплачивать водителю за перевоз собаки. Если нет - то собаку возить никто не обязан.

Понятно, что собака это дополнительные риски. Покусает/непокусает, насрет/не насрет, оставит шерсть и грязь с лап или не оставит. Какие-то риски большие какие-то маленькие, не важно. Если есть риски ими надо как-то управлять. Например отказываться от этих рисков (не везти собаку) или же страховать - т.е. брать доплату.

Водитель в подобных службах не оказывает публичных услуг, и не обязан соблюдать законодательство о публичных услугах. Т.е. водитель имеет право и отказаться от перевозки собаки и потребовать доплату.

А вот Яндекс оказывает публичную услугу. Это точно. Вопрос только в том, транспортную услугу или информационную. Если оказывает транспортную, то доплачивать водителю за перевозку собаки должен сам Яндекс, если водитель согласен везти с доплатой, и не отправлять заказ водителю который принципиально везет собаку. А если оказывает информационную - то вопрос перевозки собаки это уникальный и индивидуальный договор между водителем и пассажиром.