Как математическая оптимизация помогает лечить рак

Руководитель направления систем бизнес-аналитики BIA Technologies Станислав Воронин объясняет, как оптимизация планирования лучевой терапии повышает вероятность благоприятного исхода у пациентов с онкологией.

Как я уже рассказывал в этом блоге, с помощью математической оптимизации и моделирования можно сократить издержки предприятия, повысить эффективность производства, предсказать аварию, спрос или увольнение, помочь экологии или составить сетку футбольных матчей на год вперед. В этот раз я расскажу о том, как математика буквально спасает жизни.

В начале нулевых двое американских ученых, математик Ева К. Ли и биофизик Марко Зайдер, объединили усилия, чтобы найти математический способ повысить эффективность лечения онкобольных. Они сосредоточились на оптимизации брахитерапии, широко распространенной при лечении рака простаты. В 2008 году в научном журнале Interfaces было опубликовано описание созданной ими системы моделирования, за которую ученые впоследствии получили престижную Премию Франца Эдельмана за достижения в области исследования операций.

Брахитерапия — вид лучевой терапии, при которой радиоактивные микрокапсулы внедряются внутрь пораженного органа в качестве постоянных имплантов. Брахитерапия особенно распространена при лечении рака предстательной железы на ранней стадии. Она вызывает менее серьезные побочные эффекты по сравнению с другими методами лечения, такими как дистанционная лучевая терапия (внешнее облучение) или хирургическое удаление простаты, позволяет сохранить половую потенцию и в целом более удобна для пациента (вся процедура занимает менее одного дня).

Имплантация обычно выполняется с помощью датчика трансректального ультразвукового исследования (ТРУЗИ), прикрепленного к пластиковой пластине с сеткой отверстий в ней. Датчик вводится в прямую кишку, а пластина упирается в промежность пациента. Через простату делается серия изображений, а на экране отображается шаблонная сетка, наложенная на анатомию простаты. Иглы, вставленные в пластину в соответствующих координатах сетки, позволяют размещать микрокапсулы в запланированных точках опухоли.

До сих пор основным ограничением этого метода была сложность точного размещения 60–150 микрокапсул в предстательной железе в заданном геометрическом порядке. План лучевой терапии должен быть создан таким образом, чтобы максимизировать дозу облучения на опухоль и свести к минимуму неизбежное облучение окружающих здоровых тканей. Разработка такого плана является чрезвычайно сложной задачей, поскольку она включает множество физических факторов, в частности: чувствительность различных типов тканей к излучению, разную мощность источников излучения, анатомию пациента и его положение во время процедуры.

Традиционно для разработки плана лучевой терапии пациенту за несколько дней или недель до имплантации проводят ультразвуковое исследование (УЗИ) или компьютерную томографию (КТ). Во время сканирования делается и сохраняется серия аксиальных изображений с наложенной на них шаблонной сеткой. Контуры предстательной железы рисуются на каждом разрезе, и врач пытается, основываясь на интуиции и предыдущем опыте, найти такую схему размещения микрокапсул, которая даст приемлемое распределение доз радиации. Полученный план подвергается графическому анализу с целью согласования предписанных осевых линий изодоз с контурами предстательной железы и ограничения дозы радиации на соседние органы. Этот процесс может занять несколько часов, поскольку положения капсул должны быть оптимизированы в трех измерениях, но визуализировать их можно только в виде серии двумерных изображений. Каждая микрокапсула влияет на дозу радиации не только в своей осевой плоскости, но и в соседних плоскостях, поэтому каждое изменение в схеме распределения капсул должно рассматриваться глобально.

Такой подход, известный как подход предварительного планирования, имеет ряд существенных ограничений:

Чтобы планировать брахитерапию в процессе операции, врачи применяли компьютеризированные итерационные подходы и эвристические методы, такие как алгоритм имитации отжига и генетический алгоритм. Однако измерить качество получаемых планов (то есть определить, насколько они далеки от оптимальности) было невозможно.

Все эти проблемы были решены Евой К. Ли и Марко Зайдером. Используя передовые методы исследования операций и собственные вычислительные стратегии, они разработали сложную автоматизированную систему оптимизационного 3D-моделирования на базе целочисленного программирования. Система способна учитывать клинически значимые ограничения любого типа и достигать оптимального решения в течение нескольких секунд. Скорость расчетов позволяет осуществлять интраоперационное планирование, преодолевая проблемы предварительного планирования и позволяя изменять планы в режиме реального времени.

Ученые подошли к задаче оптимизации планирования брахитерапии как к комбинаторной задаче. Они использовали переменные 0/1 для регистрации размещения или неразмещения источников излучения в заданной трехмерной сетке потенциальных местоположений капсул. Ограничения в модели включают дозиметрические ограничения радиации для опухоли и здоровых тканей. По желанию лечащего врача в модель можно также включить другие ограничения. Например, ограничить общее количество используемых капсул и/или игл или использовать несколько типов капсул, имеющих разную радиоактивную силу.

Созданная модель обеспечивает существенно более безопасные и надежные результаты лечения. По сравнению с традиционными методами планирования, система позволяет добиться меньшего облучения здоровых органов, а именно снизить дозу радиации для мочеиспускательного канала на 23–28%, а для ректальной зоны — на 15%. Это означает, что меньшему числу пациентов потребуется дополнительное врачебное вмешательство и прием лекарств для лечения побочных эффектов. Кроме того, разработанные таким образом планы требуют примерно на 20–30% меньше капсул и на 15% меньше игл. В результате время в операционной сокращается, а вся процедура менее инвазивна.

Преимущества оптимизационной системы очевидны:

1. Разработанные таким образом планы лучевой терапии помогают снизить смертность от рака за счет обеспечения полного дозиметрического охвата пораженного участка.

2. Тщательное избегание облучения здоровых тканей сокращает количество послеоперационных осложнений (до 45–60%), включая потерю половой потенции и недержание мочи, что значительно улучшает качество жизни пациента после лечения.

3. Система устраняет необходимость в предварительном моделировании и постимплантационном дозиметрическом анализе (КТ), что существенно сокращает медицинские расходы. Учитывая, что ежегодно в мире выявляется около 1,4 миллиона случаев рака простаты, речь идет об экономии в сотни миллионов долларов.

Как видно, математическая оптимизация помогает в решении самых сложных задач. Широта сфер применения исследования операций практически безгранична. Иногда, как в случае с планированием лучевой терапии для лечения рака простаты, сложность решаемой задачи и время, отведенное на ее решение, сопоставимы, если не превосходят, сложность создания рекомендательных систем в производственных процессах. А чем сложнее задача — тем интереснее нам ее решать.