Опционы..опционы - про гамму (1/2). Часть 3

Данный материал является переводным. Автор текста Kristopher Abdelmessih

Первая часть была про теорию, а вторая часть была немного про практику.

В этой части мы поговорим про "гамму".

Давайте сначала вспомним, что дельта показывает, насколько изменится цена опциона относительно цены акции. Это делает её удобной мерой для хеджирования. Она показывает эквивалент позиции в акциях вашей опционной позиции. Так, если у опциона дельта равна 0,50, его цена изменится на 0,50 доллара при изменении цены акции на 1,00 доллар. Опционы call имеют положительную дельту, а опционы put — отрицательную (то есть ценность put уменьшается по мере роста цены акции). Если у вас есть опцион call с дельтой 0,50, и вы хотите быть захеджированным, вам нужно иметь короткую позицию по 50 акциям (на американском рынке акций 1 опцион = 100 акций ). При небольших изменениях цены акций ваша позиция по опциону и акциям будет уравновешиваться, так как вы достигли «дельта-нейтральности».

Это верно только для небольших колебаний. Понятие "небольшие" довольно размыто, так как зависит от волатильности, но в этом обсуждении мы не будем углубляться в такую сложность. Как помните в первой части мы рассмотрели, что цена опциона зависит от "настроений" в базовом активе (дельта и гамма), а также от "настроений" самих трейдеров опционов (волатильность/вега). В этой части мы не будем касаться последних, а сфокусируемся только на настроении базового актива.

Мы сосредоточимся на том, как меняется ваша дельта при изменении цены акции. Это критически важно, потому что если дельта вашего опциона изменяется, то изменяется и эквивалент вашей позиции в акциях. Если размер вашей позиции меняется, то одно и то же изменение цены акции на $1 приводит к различным изменениям вашего прибылей и убытков для каждого изменения на $1. Если я держу длинную позиция по 50 акциям, я зарабатываю одинаковую сумму денег на каждое изменение цены на $1. Но если я в опционах на 50 акций, с дельтой 0.50, то по мере роста стоимости акции моя дельта увеличивается, поскольку опцион становится более прибыльным (in-the-money - становится в деньгах). Это означает, что следующее изменение цены акции на $1 приведет к прибыли или убытку в $60, а не в $50. Мы знаем, что опционы, глубоко в деньгах - "in-the-money", имеют дельту 1.00, что означает, что они ведут себя так же, как акции.

Если у вас есть опцион call с дельтой 0.50, и цена акции увеличивается на $1, то дельта опциона может повыситься до 0.60, что означает, что опцион становится более "в деньгах" (in-the-money). Это изменение дельты с 0.50 до 0.60 из-за изменения цены акции на $1 именно и называется гаммой. В данном случае мы говорим, что у опциона гамма равна 0.10 на каждый $1 изменения цены акции. Таким образом, если цена акции увеличится еще на $1, дельта увеличится еще на 0.10. Это значит, что чем больше изменяется цена акции, тем сильнее меняется ваша теоретическая позиция в акциях, потому что дельта опциона становится все больше и больше.

Давайте попробуем почувствовать гамму. Гамма - это ускорение.

Вы за рулем автомобиля. Вы двигаетесь со скоростью 60 миль в час.

Представьте себе два сценария:

В случае ускорения, какова была ваша средняя скорость за эту минуту? Поскольку ускорение было плавным, ответ — 70 миль в час. Какое расстояние вы проехали в каждом случае? При постоянной скорости:

А если ускориться на 20 миль в час?

Если ускорение плавное, мы можем взять среднюю скорость за промежуток времени и умножить её на продолжительность, чтобы вычислить пройденное расстояние.

Теперь продолжим ускорять этот суперкар на дополнительные 20 миль в час в течение следующих 15 минут и посмотрим, какое расстояние мы проедем. Сравним это с транспортным средством, которое поддерживает скорость 60 миль в час на протяжении всей поездки. В таблице используется та же логика — средняя скорость за последнюю минуту предполагает постоянное ускорение.

Или если взять суммарное расстояние, пройденное за каждую минуту:

Кривизна — это корректировка линейной оценки пройденного расстояния, если бы исходили из того, что наша начальная скорость была постоянной.

Давайте перенесем эту аналогию на опционы.

Время —> цена акции. Сколько времени прошло с момента T₀ соответствует вопросу "насколько изменилась цена акции с момента нашего входа?"

Скорость —> дельта. Дельта — это мгновенный наклон прибыли или убытка по отношению к цене акции, так же как скорость — это мгновенная скорость автомобиля.

Ускорение —> гамма. Ускорение — это изменение нашей скорости, так же как гамма — это изменение дельты.

Накопленное расстояние —> накопленная прибыль/убыток. Расстояние = скорость x время. Поскольку скорость меняется, умножаем среднюю скорость на время. В данном случае мы можем проверить наш ответ, взглянув на таблицу. Мы проехали 52,5 мили за 15 минут или в среднем 210 миль в час. Это соответствует нашей скорости в середине пути — минуте 8 из 15. Прибыль/убыток = средний размер позиции x изменение цены акции. Так же как наша скорость менялась, менялся и размер нашей позиции!

Дельта — это наклон вашей прибыли или убытка. Вот как я думаю о размерах позиций. Кривизна — это нелинейная прибыль или убыток, которая возникает из-за изменения размера вашей позиции. Гамма механически изменяет размер вашей позиции по мере того, как цена акции колеблется.

Математический анализ, который люди ассоциируют с опционами, просто представляет собой непрерывное выражение тех же идей. Мы только что прошли через это шаг за шагом, минута за минутой, беря дискретные средние значения за дискретные периоды времени.

Дельта знакома всем, поскольку она присутствует во всех линейных инструментах. Акция — это линейный инструмент. Если у вас есть 100 акций, и они поднимаются на $1, вы зарабатываете $100. Если они поднимаются на $10, вы зарабатываете $1000. Если какие-то дельты исходят от опционов, это критически важная информация, так как мы знаем, что гамма изменит дельту по мере движения акции.

Если ваши 1000 дельт в акциях BP состоят из:

500 акций и 10 опционов call с дельтой 0.50 - это важно знать. Для быстрого анализа вашей позиции вы часто просто хотите знать вашу чистую дельту, чтобы иметь представление о том, какой будет ваши прибыль или убыток при небольших движениях.

Если у вас есть опционы, эта дельта не сможет точно предсказать вашу прибыль или убыток при больших движениях. Мы видели, что ускорение изогнуло общее пройденное расстояние. Чем дольше вы движетесь, тем больше «поправка на кривизну» от линейной экстраполяции начальной скорости. Точно так же гамма от опционов будет искривлять вашу прибыль или убыток от вашей начальной чистой дельты, и эта кривизна увеличивается по мере того, как акция движется дальше.

Давайте рассмотрим пример.

Акция стоит $28.35. Опцион call со страйком $28.50 и сроком истечения через 23 дня. Он практически находится "у денег" (at-the-money). У него дельта 0.50 и гамма 0.12. Давайте примем стоимость опциона в $1.28 как справедливую стоимость.

Исходная позиция = 20 опционов call.

Каковы ваши «греки»?

Дельта = 1000: 0.50 x 20 контрактов x 100 (множитель акций)

Гамма = 240: 0.12 x 20 контрактов x 100 (множитель акций)

(другие греки не рассматриваются в этом посте)

Греки описывают ваши риски. Если бы вы просто владели 1000 акциями BP, вы бы знали наклон вашей прибыли или убытка на $1 движения... это $1000. Этот наклон не изменится.

Но что насчет этой опционной экспозиции? Что произойдет, если акции вырастут на $1, какова будет ваша новая дельта и какова будет ваша прибыль или убыток?

После роста на $1:

Новая дельта = 1240 дельт: 0.62 x 20 контрактов x 100 (множитель акций)

Помните, что гамма — это изменение дельты на $1 движения. Это говорит нам, что если акции вырастут на $1, этот опцион call увеличит свою дельту на 0.12, переходя с дельты 0.50 к дельте 0.62. По мере роста акции ваш эквивалентный позиционный объем увеличился с 1000 до 1240.

Видите ли вы, как можно вычислить вашу прибыль или убыток, аналогично примеру с ускоряющимся автомобилем?

Вычисление прибыли или убытка при наличии гаммы.

Ваша начальная дельта равна 1000. Ваша конечная дельта — 1240. (Можно предположить, что гамма изменяется плавно, как мы говорили об ускорении автомобиля.). Ваша средняя дельта за время движения = 1120

1120 x $1 = $1120

Вы заработали дополнительные $120 по сравнению с обычной позицией в акциях за то же движение на $1. Эти дополнительные $120 прибыли — это кривизна от простой экстраполяции прибыли или убытка по дельте. Поскольку эта кривизна обусловлена гаммой, лучше всего разложить прибыль или убыток на дельта-часть и гамма-часть.

Дельта-часть — это линейная оценка прибыли или убытка = начальная дельта 1000 x $1 = $1000 Гамма-часть прибыли или убытка вычисляется так же, как в примере с ускорением: Ваша гамма представляет собой изменение дельты за весь ход. Это изменение дельты на 240 на $1. Таким образом, в среднем ваша дельта была выше на 120 за время движения. Так мы масштабируем гамму по размеру движения и делим на 2. Это представляет наше среднее изменение дельты, которое мы умножаем на размер движения, чтобы вычислить «гамма-прибыль или убыток».

Γ = гамма, взвешенная по позиции = гамма на контракт x количество контрактов x множитель акций 100

△S = изменение цены акции

Мы можем переписать это, чтобы сделать нелинейность очевидной — прибыль или убыток по гамме пропорциональны квадрату движения акции!

"Долларовая гамма"

В инвестировании мы обычно не говорим о нашей дельте или эквивалентной позиции в акциях. Если я владею 1000 акциями акции стоимостью $500, это совсем не то же самое, что 1000 акций стоимостью $20. Вместо этого мы говорим о номинальной сумме в долларах. Это будет соответственно $500,000 против $20,000. Номинальная сумма в долларах — это общие способы обозначения размера позиции. Трейдеры опционов и производных финансовых инструментов делают то же самое. Вместо того чтобы ссылаться только на свою дельту или эквивалентную позицию в акциях, они упоминают свою «долларовую дельту». Это тождественно номинальной сумме в долларах, но сохраняет лексику «дельты».

Естественно вычислить «дельту 1%», которая описывает нашу прибыль или убыток на 1% движение базового актива.

Для примера с акциями BP:

Начальная долларовая дельта = дельта x цена акции = 1000 x $28.35 = $28,350 долларовых дельт Δ1% = $28,350 / 100 = $283.50 Вы зарабатываете $283.50 за каждый 1% роста акции BP.

Гамма имеет аналогичную идею. До сих пор мы определяли гамму так, как это делают модели опционов — изменение дельты на $1 движение. Мы хотим обобщить расчеты гаммы, чтобы они также работали в процентах. Давайте выведем долларовую гамму, продолжая пример с акциями BP.

Гамма 1%

Гамма на $1 = 240.(Гамма = 240: 0.12 x 20 контрактов x 100 (множитель акций) - в изначальном примере)

Конечно, движение на $1 в BP это более 3.5% ($1 / $28.35). Чтобы масштабировать это до «гаммы на 1%», мы умножаем гамму на 28.35 / 100, что интуитивно понятно. Гамма 1% = 240 * 0.2835 = 68.04

Таким образом, при увеличении BP на 1%, ваша дельта увеличивается на 68.04 акции. Преобразование гаммы 1% в долларовую гамму просто. Просто умножьте на цену акции. Подставляя гамму 1% из предыдущего шага, мы приходим к классической формуле долларовой гаммы:

Давайте используем данные BP.

$Гамма = 240 * 28.35² / 100 = $1,929

Рост на 1% в BP приводит к изменению позиции в акциях BP в долларовом эквиваленте на $1,929 из-за гаммы.

Вместо того чтобы говорить о том, как меняется наша дельта (эквивалентная позиция в акциях), вы можете умножить долларовую гамму на процентные изменения, чтобы вычислить изменения в нашей долларовой дельте.

Обобщение для прибыли/убытков по гамме.

В этом разделе мы оценим прибыль или убыток по гамме для процентных изменений, а не для изменений на $1. Рассмотрим два способа.

Метод ускоряющегося автомобиля

Логика следующая (снова используя пример с BP):

Если рост на 1% приводит к увеличению экспозиции BP на $1,929, то, предполагая, что гамма изменяется плавно, рост на 3,5% (или на $1) приведет к увеличению длины BP на $6,751, потому что (3,5%/1%) * $1,929. Следовательно, средняя длина за время движения составляет $3,375 (то есть 0,5 * $6,751) из-за гаммы $3,375 * 3,5% = $118 (Это очень близко к оценке $120, которую мы рассчитали по первоначальной формуле прибыли или убытка по гамме. Это имеет смысл, так как мы следовали той же логике... умножаем средний размер позиции из-за гаммы на размер движения.)

Алгебраический метод

Мы можем адаптировать первоначальную формулу прибыли или убытка по гамме для процентных изменений. Чтобы преобразовать изменение цены в процент, мы просто делим на цену акции. Если акция стоимостью $50 увеличилась на $1, то она увеличилась на 2%.

Если мы заменим процентное изменение в акции на изменение в акции, мы должны сбалансировать, умножив на S²:

Мы можем проверить, что это работает с нашим примером BP. Напомним, что начальная цена акции составляет $28.35:

Это также согласуется с ранее рассчитанным нами прибылем или убытком по гамме.

В данной части мы предполагали, что гамма является гладкой или постоянной в диапазоне цен. На практике это не так. Но об этом в следующей публикации.

#опционы #криптовалюта #биткоин